高考数学・三角形 ABC 重心 G 点坐标详细推导过程

重心坐标结论

对于顶点为 、、 的 ，其重心 G 的坐标为：

说明：重心的坐标恰好是三个顶点坐标的算术平均值，这一结论对任意三角形（包括退化三角形）都成立。

详细推导过程

方法一：中线定比分点法（几何定义推导）

1. 重心的核心几何性质

三角形的重心是三条中线的交点，且重心将任意一条中线分割为 顶点到重心 : 重心到对边中点 = 2 : 1 的两段。

2. 求对边中点的坐标

取 BC 边的中点 D，根据平面直角坐标系的中点坐标公式，中点的横、纵坐标分别为两端点对应坐标的平均值：

3. 用定比分点公式计算重心坐标

已知重心 G 在中线 AD 上，且 ，即分点 G 的定比 。

根据定比分点坐标公式：若点 P 分线段  的比为 （满足 ），则 P 点坐标为：

将 、 和  代入公式：

• 横坐标：

• 纵坐标：

4. 结论

方法二：向量法（更简洁的代数推导）

设重心 G 的坐标为 ，根据重心的向量性质：重心与三个顶点的向量之和为零向量，即：

分别写出三个向量的坐标形式：

1. 横坐标分量

将三个向量的横坐标分量相加，和为 0：

整理得：

2. 纵坐标分量

同理，纵坐标分量相加和为 0：

整理得：

3. 结论

方法三：两条中线交点法（验证思路，可选）

也可以分别求出两条中线（如 AD 和 BE，其中 D、E 分别为 BC、CA 的中点），联立两条中线的直线方程求交点，同样可验证交点坐标满足上述结论。此方法计算量较大，通常作为练习使用。

应用示例

已知 ，，，求  的重心 G。

解：直接代入公式：

所以重心为：

常见注意事项

1. 重心是三条中线的交点，不要与垂心、外心、内心混淆。
2. 重心一定在三角形内部，且到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
3. 公式本质上是三个顶点坐标的平均值，可推广：n 个点  的"质心"坐标为 （等质量情形）。
4. 当三个顶点共线（退化三角形）时公式仍然成立。