一、如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

证明：在BC上截取BF=AB，连接EF.

∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，

∴∠ABE=∠FBE，∠FCE=∠DCE.

在△ABE和△FBE中，

AB=FB，∠ABE=∠FBE，BE=BE

∴△ABE≌△FBE(SAS) 

∴∠A=∠BFE.

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°.

∴∠BFE+∠D=180°.

∵∠BFE+∠CFE=180°，

∴∠CFE=∠D，

在△FCE和△DCE中，

∠CFE=∠D，∠FCE=∠DCE，CE=CE

∴△FCE≌△DCE(AAS).

∴CF=CD.

∴BC=BF+CF=AB+CD

二、如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180°

证明：作CF⊥AD交AD的延长线于F，CE⊥AB交AB的于E

∵∠BAC=∠FAC，

∴AC平分∠BAD，

∵CE⊥AB，CF⊥AD， 

∴CE=CF， 

∵CD=BC，

在Rt△BEC和Rt△DFC中， 

CE=CF，CD=BC

∴Rt△BEC≌Rt△DFC， 

.∴∠B=∠CDF，

∵∠ADC+∠CDF=180°，

∴∠ADC+∠B=180°

三、如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．

（1）若AD=1，求DC；

如图1，过点D作DH⊥BC于H，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BCA=45°，

∴DH=CH，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴DH=AD=1，

∴CD=√2

（2）求证：BD=2CE．

如图2，延长CE、BA相交于点F，

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中

∠EBF=∠ACF，AB=AC，∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBF，BE=BE，∠CEB=∠FEB，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE=EF，

∴BD=2CE．

四、如图，AB>AC，∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

证明：在AB上截取AE=AC，则BE=AB-AC，

在△AED和△ACD中，

AE=AC。∠EAD=∠CAD。AD=AD

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴DE=DC，

在△BDE中，BD-DE＜BE（三角形两边之差小于第三边）

即AB-AC＞BD-CD．