这道福建2024年的中考压轴题，主要考查圆内接等腰RT三角形的基本性质定理的运用，虽然看起来好像很简单实际上是一点都不简单，里面牵扯到大量的导角就不说，第二问如果找不准辅助线的发力点，做起来会非常棘手，感觉很容证明很多角度都是45°，但就是无法直接证明出来，这种无力感是无法用言语表达的。总体难度系数中等偏高，具体题目如下：
第一问，确实很简单，根据题干信息，很容易发现RT△CAO和RT△AEO是相似的，因此，就有OE/OA=EA/AC，也就是OE/EA=OA/AC，因为AB=AC，所以AB=2OA，因此，OA/AC=1/2，即OE/AE=1/2。
第二问，前期通过圆内和等腰RT△的45°角等特殊角进行倒角也能获得像∠DAE=∠DCE这类有用的信息，但后续好像就无法继续往下走了，我们感觉∠FEA=∠FEC=45°，但就是无法证明。所以这个时候，我们一定要看到（1）问结论OE/AE=1/2，这个信息一定是有用的，所以我们做辅助线就得紧紧依靠含有OE、AE线段的RT三角形来做，因此，我们延长EO到点G，使OG=OE，另有∠EOA=∠GOB，OA=OB，所以，△AEO≌△BGO（SAS）。
因此，BG=AE，且有∠OGB=∠OEA=90°，∠GBO=∠EAO，依据（1）问结论OE/AE=1/2，所以OG/GB=1/2，又有OG=OE，因此就有EG=BG，所以RT△EGB为等腰RT△，∠GEB=∠GBE=45°，又因为∠ABE+∠CBE=45°，所以∠GBO=∠EAO=∠CBE。
又因为∠ABE+∠CBE=45°，∠CEF=∠GEB=45°，∠BCE+∠CBE=∠CEF=45°，所以∠ABE=∠BCE。因此，△AEB∽△BEC，命题得证。
第三问，题干要求证明线段DE和EF相互平分，通过审题发现线段DE和EF是四边形FAED的两条对角线，条件转化为只需要证明是四边形FAED是平行四边形即可。
因此根据上述思路，连接线段DE、DF、AF，因为∠DFB=∠DAB=45°，又有∠FEA=∠EAO+∠EBA=45°，所以DF∥AE。
依据（2）问证明过程，∠DAE=∠DCE，∠ABE=∠BCE，∠ABF=∠ADF，因此有，∠DAE=∠ADF，所以AF∥DE，所以，四边形FAED是平行四边形。
因此，两条对角线DE和EF相互平分，命题得证。
综上所述，本题的难点是在第二问如何利用（1）问的结论来做辅助线，从而达到破题的效果，这可真是四两拨千斤，一条恰到好处的辅助线搞定一切，所以大家做压轴题过程中，不要只顾埋头拉车，也要抬头看路啊，做后面的问题时，把前面的问题结论给忘了，可这些前面的结论，往往都是很多压轴难题的破题条件之一，希望学生都能切记。
附上具体解析答案：
