【真题】2015年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

40年真题latex留白版获取方式：公众号后台发送关键词”考研真题“即可领取！

今天分享的是2015年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

设函数  在  上连续，其二阶导数  的图形如图所示，则曲线  的拐点个数为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

高中题。选 C。

unsetunset第2题unsetunset

设  是二阶常系数非齐次线性微分方程  的一个特解，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A。根据特解得到齐次方程的特征根、非齐次特解，代入即可求出参数。

unsetunset第3题unsetunset

若级数  条件收敛，则  与  依次为幂级数  的 ?

(A) 收敛点，收敛点.

(B) 收敛点，发散点.

(C) 发散点，收敛点.

(D) 发散点，发散点.

选 B。根据条件收敛得到收敛半径，然后平移即可。这里利用到逐项求导不改变收敛半径这一性质。

unsetunset第4题unsetunset

设  是第一象限中的曲线  与直线  围成的平面区域，函数  在  上连续，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

送分题，选 B。

unsetunset第5题unsetunset

设矩阵

若集合 ，则线性方程组  有无穷多解的充分必要条件为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 D，无穷组解得到 ，从而 ，而  是范德蒙行列式，从而得到  的可能取值，分别求出对应的  即可。

这里复习一下范德蒙行列式：

unsetunset第6题unsetunset

设二次型  在正交变换  下的标准形为 ，其中 。若 ，则  在正交变换  下的标准形为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A，根据标准型和正交矩阵  得到特征值和对应特征向量，再根据  反推对应的特征值即可。

unsetunset第7题unsetunset

若  为任意两个随机事件，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

考察加法公式，选 C。

unsetunset第8题unsetunset

设随机变量  不相关，且 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

根据期望的线性性展开即可，选 D。

unsetunset第9题unsetunset

 ?

送分题。

unsetunset第10题unsetunset

 ?

对称性。

unsetunset第11题unsetunset

若函数  由方程  确定，则  ?

对方程求全微分即可。

unsetunset第12题unsetunset

设  是由平面  与三个坐标平面所围成的空间区域，则  ?

轮换对称性，最后一步计算可以直接区间再现。

unsetunset第13题unsetunset

 阶行列式 

套路题，所谓的“么”形行列式，按照开口展开即可得到一阶线性递推公式，根据不动点求解数列通项即可。

unsetunset第14题unsetunset

设二维随机变量  服从正态分布 ，则  ?

二维正态分布满足：独立  不相关。

unsetunset第15题unsetunset

设函数 。若  与  在  时是等价无穷小，求  值。

泰勒即可。

unsetunset第16题unsetunset

设函数  在定义域  上的导数大于零。若对任意的 ，曲线  在点  处的切线与直线  及  轴所围成区域的面积恒为 ，且 ，求  的表达式。

根据题意列出微分方程，求解即可。

unsetunset第17题unsetunset

已知函数 ，曲线 ，求  在曲线  上的最大方向导数。

方向导数最大值为梯度的模长，从而将问题转化为条件极值问题，换元即可变成二次函数最值问题，从而避免拉格朗日乘数法。

unsetunset第18题unsetunset

(1) 设函数  可导，利用导数定义证明 ；

(2) 设函数  可导，，写出  的求导公式。

好题，充分考察导数定义的基本功。同济课后题还让证明商的求导公式，方法都是类似的。

unsetunset第19题unsetunset

已知曲线  的方程为

起点为 ，终点为 ，计算曲线积分

曲线方程容易参数化，故直接代入参数方程计算即可。

unsetunset第20题unsetunset

设向量组  为  的一个基，.

(1) 证明向量组  为  的一个基；

(2) 当  为何值时，存在非零向量  在基  与基  下的坐标相同，并求所有的 .

第一问，证明过渡矩阵可逆即可。

第二问，根据坐标相同列出等式，从而得到齐次线性方程组，求解即可，注意最后求解的是向量  而不是其坐标。

unsetunset第21题unsetunset

设矩阵

 相似于矩阵 .

(1) 求  的值；

(2) 求可逆矩阵 ，使  为对角矩阵.

第一问，根据迹和行列式分别对应相等解方程即可。

第二问，基础题。

unsetunset第22题unsetunset

设随机变量  的概率密度为

对  进行独立重复的观测，直到第  个大于  的观测值出现时停止，记  为观测次数.

(1) 求  的概率分布；

(2) 求 .

考察负二项分布，其期望和方差公式和几何分布十分类似，而几何分布在 2000 年数一的第 20 题就考察过，和本题求解过程如出一辙，不再过多赘述。

unsetunset第23题unsetunset

设总体  的概率密度为

其中  为未知参数， 为来自该总体的简单随机样本.

(1) 求  的矩估计量；

(2) 求  的最大似然估计量.

两问都很基础。

好了，以上就是今天小课糖的全部内容啦~如果内容对你有帮助，欢迎关注、点赞、收藏、转发呀，让更多人学到这个小妙招！

每日精选好题，拆解精巧解法，陪你稳步刷题、助力备考上岸！！！