【真题】2014年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2014年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

下列曲线中有渐近线的是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

AB 显然错，对于 C 和 D 简单分析即可，答案选 C。

unsetunset第2题unsetunset

设函数  具有 2 阶导数，，则在区间  上 ?

(A) 当  时，.

(B) 当  时，.

(C) 当  时，.

(D) 当  时，.

本质考察凹凸性，选 D。

unsetunset第3题unsetunset

设  是连续函数，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 D，过程如图：

unsetunset第4题unsetunset

若

则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A。看着很吓人，实际就是求定积分取得最小值时  和  的值。求出定积分后问题就变成了二元函数无条件极值问题。注意在定积分计算中运用之前反复讲过的如下结论可以简化计算：

unsetunset第5题unsetunset

行列式  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 B。通过交换行、列得到一个分块对角形行列式，套用  展开结论即可。当然一上来就直接  展开也是可以的。

unsetunset第6题unsetunset

设  均为 3 维向量，则对任意常数 ，向量组 ， 线性无关是向量组  线性无关的 ?

(A) 必要非充分条件.

(B) 充分非必要条件.

(C) 充分必要条件.

(D) 既非充分也非必要条件.

选 A。这类题讲过很多遍了，从定义或者矩阵的秩两个角度思考即可。

unsetunset第7题unsetunset

设随机事件  与  相互独立，且 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 B，基础题。

unsetunset第8题unsetunset

设连续型随机变量  与  相互独立且方差均存在， 与  概率密度分别为  与 ，随机变量  的概率密度为 ，随机变量 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

根据定义计算即可，选 D。

unsetunset第9题unsetunset

曲面  在点  处的切平面方程为 ?

基础题。

unsetunset第10题unsetunset

设  是周期为  的可导奇函数，且 ，则  ?

奇函数，所以有 ，求出函数表达式后利用周期性即可。

unsetunset第11题unsetunset

微分方程  满足条件  的解为  ?

换元后可分离变量。

unsetunset第12题unsetunset

设  是柱面  与平面  的交线，从  轴正向往  轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分  ?

斯托克斯。

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设二次型  的负惯性指数为 ，则  的取值范围是 ?

直接配方：，所以  就秒了。当然常规方法也需要掌握，过程如图：

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设总体  的概率密度为

其中  是未知参数， 为来自总体  的简单随机样本，若  是  的无偏估计，则  ?

根据无偏估计的定义即可。

unsetunset第15题unsetunset

求极限

含有变限积分，考虑洛必达。

unsetunset第16题unsetunset

设函数  由方程  确定，求  的极值.

基础题。

unsetunset第17题unsetunset

设函数  具有二阶连续导数， 满足

若 ，求  的表达式。

对题干等式化简，并做换元  即可得到关于  的一个二阶线性非齐次微分方程，求解即可。

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设  为曲面  的上侧，计算曲面积分

补面加高斯，注意对称性的运用。

unsetunset第19题unsetunset

设数列  满足 ，且级数  收敛。

(1) 证明 ； (2) 证明级数  收敛。

第一问，根据  结合余弦函数的单调性得到 ，再根据正项级数的比较判别法即可完成证明。

第二问，对通项使用和差化积化简即可。

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设

 为  阶单位矩阵。

(1) 求方程组  的一个基础解系；

(2) 求满足  的所有矩阵 。

第一问送分。

第二问，其实很简单，考虑  是满足  的一个特解，那么有 ，两式作差得到 ，也就是  的每一列都是齐次方程组  的解，所以得到 ，移项就得到了通解。

unsetunset第21题unsetunset

证明  阶矩阵

相似。

 是秩一矩阵， 是对角阵，所以特征值都可以直接得到，而  是实对称矩阵，所以一定可以相似对角化； 的重特征值满足几何重数等于代数重数，所以也可以相似对角化。根据相似的传递性即可完成证明。

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设随机变量  的概率分布为 。在给定  的条件下，随机变量  服从均匀分布 。

(1) 求  的分布函数 ；

(2) 求 。

第一问，一个离散一个连续，直接根据全概率公式拆开即可。

第二问，对第一问求出的分布函数求导得到概率密度函数，然后使用期望的定义即可。

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设总体  的分布函数为

其中  是未知参数且大于零。 为来自总体  的简单随机样本。

(1) 求  与 ；

(2) 求  的最大似然估计量 ；

(3) 是否存在实数 ，使得对任何 ，都有 ？

前两问都很基础。

第三问考察辛钦大数定律，算是比较冷门的考点。

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