【真题】2013年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2013年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

已知极限 ，其中  为常数，且 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

等价无穷小。选 D。

unsetunset第2题unsetunset

曲面  在点  处的切平面方程为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A。基础题。

unsetunset第3题unsetunset

设 。令 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 C。傅里叶级数真的是近几年数一的热门考点，但是很多同学都不重视。

unsetunset第4题unsetunset

设  为四条逆时针方向的平面曲线。记 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 D。定性分析当然是可以的，但是没有直接把具体数值都算出来直观，根据格林公式将四个积分都计算出来，C 和 D 选项建议使用  换元。

unsetunset第5题unsetunset

设  均为  阶矩阵，若 ，且  可逆，则 ?

(A) 矩阵  的行向量组与矩阵  的行向量组等价.

(B) 矩阵  的列向量组与矩阵  的列向量组等价.

(C) 矩阵  的行向量组与矩阵  的行向量组等价.

(D) 矩阵  的列向量组与矩阵  的列向量组等价.

经典结论，选 B。过程如图，写得很详细。

unsetunset第6题unsetunset

矩阵  与  相似的充分必要条件为 ?

(A) .

(B)  为任意常数.

(C) .

(D)  为任意常数.

选 B。对于实对称矩阵，相似  特征值相同。

unsetunset第7题unsetunset

设  是随机变量，且 ，，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A。标准化即可。

unsetunset第8题unsetunset

设随机变量 ，给定 ，常数  满足 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 C，考察 2003 年数一第 12 题讲过的结论，注意结合  分布的对称性。【真题】2003年数一考研真题详解！

unsetunset第9题unsetunset

设函数  由方程  确定，则  ?

首先意识到待求式子是 ，然后对隐函数求导即可。

unsetunset第10题unsetunset

已知  是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为  ?

考察二阶线性非齐次微分方程解的结构，注意到三个解中不变的部分是 ，所以这个就是特解，而变化的部分就是齐次解。因此答案为 .

unsetunset第11题unsetunset

设

( 为参数)，则  ?

参数方程求导。

unsetunset第12题unsetunset

 ?

分部积分。

unsetunset第13题unsetunset

设  是 3 阶非零矩阵， 为  的行列式， 为  的代数余子式. 若 ，则  ?

首先根据题意得到 ，从而得到 ，根据 2011 年数一第 6 题介绍的伴随矩阵秩的性质可以得到 ，即满秩。再对等式  两边同时取行列式得到  或 ，根据满秩得到只能是 。当然还可以根据行列式的定义得到行列式的值一定是小于  的。

unsetunset第14题unsetunset

设随机变量  服从参数为  的指数分布， 为常数且大于零，则  ?

考察指数分布的无记忆性。

unsetunset第15题unsetunset

计算 ，其中 .

分部积分。

unsetunset第16题unsetunset

设数列  满足条件：， 是幂级数  的和函数.

(1) 证明 ;

(2) 求  的表达式.

第一问，这类证明题属于验证类题目，没有难度。

第二问，解第一问得到的微分方程即可。

下面这篇文章介绍了更多使用这种方法求解幂级数和函数的题目：幂级数还能这样求和？？？

unsetunset第17题unsetunset

求函数  的极值.

基础题，注意计算细节即可。

unsetunset第18题unsetunset

设奇函数  在  上具有二阶导数，且 . 证明:

(1) 存在 ，使得 ;

(2) 存在 ，使得 .

第一问直接罗尔定理即可。

第二问，有两种思考角度，第一种是根据待证式解微分方程得到辅助函数，过程如下：

第二种思考角度是直接对待证式积分得到辅助函数。

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设直线  过  两点，将  绕  轴旋转一周得到曲面 ， 与平面  所围成的立体为 .

(1) 求曲面  的方程;

(2) 求  的形心坐标.

第一问和 1994 年数一第 17 题一模一样，不再赘述。【真题】1994年数一考研真题详解！

第二问，套公式，三重积分的计算使用截面法。

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设 . 当  为何值时，存在矩阵  使得 ，并求所有矩阵 .

对题设等式两边取迹，直接得到 ；后续将  的四个元素直接设出来列方程求解即可。

unsetunset第21题unsetunset

设二次型 ，记

(1) 证明二次型  对应的矩阵为 ;

(2) 若  正交且均为单位向量，证明  在正交变换下的标准形为 .

第一问，验证类题目。

第二问，根据正交这个条件得到  的两个特征值和对应的特征向量。再根据  不满秩得到存在  特征值，从而得到标准型。

unsetunset第22题unsetunset

设随机变量  的概率密度为

令随机变量

(1) 求  的分布函数;

(2) 求概率 .

第一问，画出  的图像可以清晰得到分类区间。

第二问，观察  的表达式，发现 ，从而得到答案。

unsetunset第23题unsetunset

设总体  的概率密度为

其中  为未知参数且大于零.  为来自总体  的简单随机样本.

(1) 求  的矩估计量;

(2) 求  的最大似然估计量.

两问都很基础。

好了，以上就是今天小课糖的全部内容啦~如果内容对你有帮助，欢迎关注、点赞、收藏、转发呀，让更多人学到这个小妙招！

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