北京大学数分考研真题精讲:二重积分等于函数值的点为何必有无穷多个?

前言

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今天我们来看一道北京大学数学分析考过的证明题，即便是放到现在，难度还是比较大的哈！比较适合一些相对顶尖的名校考察，是一道很经典的考题哦！

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想上北大，这道证明题你必须得会啊！

北京大学数学分析考研真题

题目

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设 ， 是  上的连续函数，证明满足

的点  有无穷多个。

解析

记

由于  为紧集且  连续，存在点  使得

从而对任意  有 ，积分得

 若  或 ，则满足条件的点有无穷多个。

只证 ， 同理。令 ，则  连续且 ，并且

若存在  使 ，由连续性可取  使得在  上有 ，从而积分严格大于 ，矛盾。故 ，即 ，于是对任意  都有 ，解点无穷多。

 若 ，则满足条件的点也有无穷多个。

令

由  与  可知  都非空；又因  连续， 在  的相对拓扑下为开集，且 .

设  表示  在  中的相对边界，即

其中  为在  中的闭包。对任意 ，必有 ：

因此有

下面证  含无穷多个点。反设  只有有限多个点。则  是从正方形中删去有限点得到的集合，因而仍是道路连通的。

注意到

并且  与  在  中都是开集、互不相交；又 ，且  从而 . 这说明连通集  被分解为两个不交的非空开集之并，矛盾。故  不可能是有限集，必为无限集。

综上， 至少包含无限集 ，从而满足

的点  有无穷多个。

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做完之后，是不是觉得本题的难度还是比较大的呢？

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遇到这种相对比较难的题目的时候，大家一定要先积累思路，由浅入深式的作答！