中考数学 · 选择填空专项· 规律探究问题 · 六大专题30题
中考数学 · 选择填空专项· 规律探究问题 · 六大专题30题
数式规律 / 图形规律 / 坐标规律 / 周期规律 / 新定义 / 几何递推
📌 6大专题 难度比 1:2:2 🌏 全国通用
规律探究题是全国各地中考选择、填空题的"常客"，几乎每卷必考1～2道。它起点低、入口宽：认真读题的学生都能"看出"前几个数的规律；但它又是拉开差距的"小压轴"——能否用含 n 的代数式把规律 准确地表达出来 、能否用"周期"把大数化小，正是区分度所在。本套题精选六大专题、共30道典型真题风格题目，每专题按"★基础1题 + ★★巩固2题 + ★★★挑战2题"配置，适合绝大多数同学系统过关。
① 标序号 把每个数、每个图形、每个点与序号 n 一一对应 ② 找关系 相邻两项作差、作商；分子分母分开看；图形拆成基本单元 ③ 拆分组合 符号交替用 (-1)ⁿ；差递增的考虑二次式 ④ 找周期 大序号问题先找循环节，再用序号除以周期取余 ⑤ 验证 把得到的规律代回 n=1、2、3 检验，确保万无一失 ⑥ 慎防陷阱 注意"余数为0取每组的最后一个"；注意起点是第0项还是第1项 【知识点说明】 数式规律是规律探究的"基本功"，考查从特殊到一般的归纳能力。常见类型：①等差型（差恒定，通项为一次式）；②等比/幂型（商恒定，如 3×2ⁿ⁻¹、n²）；③分数型（分子、分母分别找规律）；④符号交替型（含 (-1)ⁿ）；⑤算式规律（由一组等式归纳一般等式）；⑥二阶等差型（相邻差构成等差数列，通项为二次式）。 【做题技巧】 先作差再作商：差是常数 → an+b；差递增（等差）→ 二次式；比是常数 → 幂的形式。分数题把分子、分母拆开各找各的规律。符号一正一负 → 乘 (-1)ⁿ。最后一定代回 n=1、2 验证！ 按规律排列的一列数：2，5，8，11，14，…，则第 n 个数是（ ）
💡 提示： 相邻两个数的差都是3，属于等差型，通项形如 3n+b，再代入 n=1 检验。 观察下列一组数：1/2，2/5，3/10，4/17，5/26，…，按此规律，第 n 个数是 ________ ，第7个数是 ________ 。
💡 提示： 分数型把分子、分母分开研究：分子是1，2，3，4，…；分母2，5，10，17，26 与"平方数"只差1。 观察下列等式：1×3+1=4=2²，2×4+1=9=3²，3×5+1=16=4²，4×6+1=25=5²，…，按此规律，若 n(n+2)+1=2025，则 n=（ ）
💡 提示： 先把左边配方：n(n+2)+1=n²+2n+1=(n+1)²；再看2025是不是完全平方数。 一列数：-1，1/2，-1/4，1/8，-1/16，…，按此规律，第 n 个数是 ________ ，第9个数是 ________ 。
💡 提示： 两项工作：①符号一负一正交替，用 (-1)ⁿ 控制；②绝对值 1，1/2，1/4，1/8… 每次除以2，写成 2 的幂。 观察数列：1，4，10，19，31，46，…，按此规律，第 n 个数是 ________ ，第10个数是 ________ 。
💡 提示： 作差：3，6，9，12，15，…差本身是等差数列（二阶等差型）。第n项 = 1 + 3×(1+2+…+(n-1))，用到 1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2。 【知识点说明】 图形规律题给出若干个依次变化的图形，研究小棒根数、图形个数、点数、人数、边数等随序号 n 的变化规律。本质是"把图形翻译成数列"：把图形拆分成基本单元，数出前3～4个图形的量，再用差分法找通项。常见模型：连拼型（3n+1类）、拼接计数型、点阵型、网格型，通项常为一次式或二次式。 【做题技巧】 三步走：①数出前几个图形的数量；②观察"每增加一个图形，新增多少"——新增量恒定是一次式，新增量递增是二次式；③代回验证。画表格记录是防错的好习惯！ 用相同的小棒摆正方形，如图所示，第1个图形用4根小棒，第2个图形用7根，第3个图形用10根，…，按此规律，第 n 个图形需要小棒 ________ 根，第20个图形需要小棒 ________ 根。
💡 提示： 从第2个图形起，每多拼一个正方形只需增加3根小棒（有一条边公用）。 某餐厅的长方形桌子，1张桌子可坐6人（两端各坐1人，两侧各坐2人），2张桌子拼成一排可坐10人，3张桌子拼成一排可坐14人，…，按此规律，10张桌子拼成一排可坐（ ）人。
💡 提示： 桌子越拼越长，两端始终坐 1+1=2 人，两侧每张桌旁各坐2人即每桌4人 → 人数 = 4n+2。 探究多边形的对角线条数：三角形有0条对角线，四边形有2条，五边形有5条，六边形有9条，…，按此规律，n边形有对角线 ________ 条，十二边形有对角线 ________ 条。
💡 提示： 从每个顶点出发可以引 (n-3) 条对角线（不能连自己和相邻两个顶点），n个顶点共 n(n-3) 条，但每条都被数了两次。 如图，用棋子摆六边形点阵：第1个图形有1枚棋子，第2个图形有7枚，第3个图形有19枚，第4个图形有37枚，…，按此规律，第5个图形需要棋子（ ）枚。
💡 提示： 看"新增量"：第2个比第1个多6枚，第3个比第2个多12枚，第4个比第3个多18枚……新增的是6的倍数，可利用 1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)/2 求总数。 用长度相同的小棒摆正方形网格：摆 1×1 的网格需要4根小棒，摆 2×2 的网格需要12根，摆 3×3 的网格需要24根，…，按此规律，摆 n×n 的网格需要小棒 ________ 根，摆 4×4 的网格需要小棒 ________ 根。
💡 提示： 分开数：n×n 网格有 (n+1) 条横线，每条长 n 根小棒；竖线同样多 → 总数 = 横 + 竖。 【知识点说明】 在平面直角坐标系中，点按某种规则不断运动或变换（对称、旋转、平移），求若干次之后的坐标。常结合初三旋转知识，但核心是"算前几个 → 找规律"。常见类型：①对称链（交替关于 x 轴、y 轴对称）；②旋转链（每次绕原点旋转90°，周期为4）；③平移累加型（每次移动相同的量）；④螺旋环绕型（4个点一组，坐标的绝对值逐组加1）；⑤步长递增型（第 k 次移动 k 个单位）。 【做题技巧】 老老实实写出前4～8个点的坐标，"周期"自然浮出水面：对称链、旋转链的周期都是4；螺旋型每4个点一组。大序号 ÷ 周期看余数——余几就看每组中的第几个；余数为0就看每组的最后一个（最易错点）！ 在平面直角坐标系中，点 P₀(3,-2)。第1次变换：关于 x 轴对称，得到点 P₁；第2次变换：关于 y 轴对称，得到点 P₂；第3次变换：关于 x 轴对称，得到点 P₃；……，如此交替进行，则点 P₂₀₂₆ 的坐标是 ________ 。
💡 提示： 关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标变相反数；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数。写出 P₁、P₂、P₃、P₄，看看谁回来了。 在平面直角坐标系中，点 P₀(1,2)。将点 P₀ 绕原点 O 逆时针旋转90°得到 P₁，再将 P₁ 绕原点 O 逆时针旋转90°得到 P₂，……，如此反复，则点 P₂₀₂₆ 的坐标是（ ）
💡 提示： 绕原点逆时针旋转90°：横、纵坐标互换，并让"新的横坐标"变为原纵坐标的相反数，即 (x,y)→(-y,x)。旋转4次回到原位。 在平面直角坐标系中，一系列点按如下规律排列：A₁(1,1)，A₂(3,2)，A₃(5,3)，A₄(7,4)，…，则点 Aₙ 的坐标是 ________ ，点 A₁₀₀ 的坐标是 ________ 。
💡 提示： 横坐标1，3，5，7，…是奇数列；纵坐标1，2，3，4，…恰是序号。 如图，在平面直角坐标系中，一列点按如下规律排列：P₁(1,0)，P₂(1,-1)，P₃(-1,-1)，P₄(-1,1)，P₅(2,1)，P₆(2,-2)，P₇(-2,-2)，P₈(-2,2)，P₉(3,2)，…，则点 P₂₀₂₆ 的坐标是 ________ 。
（虚线表示点列的行进路线：绕原点转圈，每4个点为一组，半径逐次增大） 💡 提示： 每4个点一组：第k组中4个点的坐标绝对值都是 k（或 k+1）。先算 2026÷4 的商和余数，再对照 P₂ 所在的位置特征。 动点 P 从原点 O(0,0) 出发，第1次向右移动1个单位长度，第2次向上移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，第4次向下移动4个单位长度，第5次向右移动5个单位长度，……（移动方向按"右、上、左、下"循环，每次移动的单位数依次为1，2，3，4，5，…），则第2026次移动结束后，点 P 的坐标是 ________ 。
💡 提示： 每移动4次为一个周期。不妨先算前4次、8次结束后的落点坐标，归纳"第4m次结束后的坐标"；2026 = 4×506 + 2，剩下两次向右、向上分别移动2025、2026个单位。 【知识点说明】 一列数、一串运算或一组变化按固定周期重复出现，求"很大序号"对应的结果。三大高频背景：①幂的个位数字（个位数字的循环周期最多为4）；②数字串或递推数列的周期（如 1,3,2,-1,-3,-2 循环）；③日期与星期问题（周期为7）。递推数列型先老老实实算出前几项，周期往往藏在第3～6项之间。 【做题技巧】 口诀"先找周期，再除取余"：用大序号 ÷ 周期，余数为 r，就看循环节中第 r 个；余数恰好为0时，取循环节的最后一个（这是最容易丢分的地方，务必当心）！ 3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，按此规律，3²⁰²⁶ 的个位数字是（ ）
💡 提示： 个位数字依次是 3,9,7,1,3,9,7,1…，周期为4。用2026除以4看余数。 按规律排列的一列数：1，3，2，-1，-3，-2，1，3，2，-1，-3，-2，…，则第2026个数是 ________ 。
💡 提示： 每6个数循环一次。2026÷6 的余数是几，就取这6个数中的第几个。 已知2026年9月1日是星期二，那么2026年10月1日（国庆节）是星期 ________ 。
💡 提示： 9月共有30天，星期以7为周期循环。看从9月1日到10月1日相差的30天里，包含几个整星期、还余几天。 已知数列 {aₙ} 满足：a₁=2，aₙ₊₁=1-1/aₙ（n≥1），则 a₂₀₂₆ = ________ 。
💡 提示： 别被递推公式吓到，老老实实算：a₂、a₃、a₄ 依次是多少？算到 a₄ 就真相大白了——出现了周期！ 式子 2²⁰²⁶ + 3²⁰²⁶ + 7²⁰²⁶ 的个位数字是（ ）
💡 提示： 三个幂的个位数字分别找周期：2的个位按 2,4,8,6 循环；3按 3,9,7,1；7按 7,9,3,1。三个周期恰好都是4，分别取余后再相加，只看和的个位。 【知识点说明】 题目先给出一个新概念、新运算或新规则，要求"现学现卖"。高频类型：①新运算（如 a⊙b=a+b-ab）；②由一组等式猜运算规则；③形如 11…1² 的数字宝塔；④"差倒数"等迭代定义（常与周期规律结合，形成"新定义+周期"的双重考查）。这类题文字长、背景新，考查阅读理解与迁移能力。 【做题技巧】 第一原则：严格按定义操作，不发明规则！第二原则：算足前3～4个例子再下结论；若新定义是"反复迭代"型，十有八九藏着周期。注意定义中的限制条件（如 a≠1、n≥1）。 定义新运算"⊙"：对任意有理数 a、b，规定 a⊙b = a+b-ab。例如：2⊙3 = 2+3-2×3 = -1。则 (-2)⊙5 = ________ 。
💡 提示： 直接把 a=-2、b=5 代入定义式，注意 (-2)×5 的符号。 定义新运算"◎"：观察下列等式：1◎2=5，2◎3=10，3◎4=17，…，按此规律，则 5◎6 =（ ）
💡 提示： 猜规则时把"左边两个数"和"右边结果"逐一对照：5 = 1²+2×2 吗？10 = 2²+2×3 吗？验证通过，规则就找到了。 观察下列"数字宝塔"：11²=121，111²=12321，1111²=1234321，…，按此规律，111111² = ________ 。
💡 提示： n 个 1 的平方，结果从1开始依次增大到 n，再依次减小回到1，是一个"回文数"。 定义：a 是不等于1的数，我们把 1/(1-a) 叫做 a 的"差倒数"。已知 a₁=1/3，a₂ 是 a₁ 的差倒数，a₃ 是 a₂ 的差倒数，……，依次类推，则 a₂₀₂₆ = ________ 。
💡 提示： 逐个计算：a₂ = 1/(1-1/3)，a₃ = 1/(1-a₂)……算到 a₄，看看它和谁是老熟人——又是周期问题！ 对任意自然数，作如下"变换"：若它是奇数，则乘3再加1；若它是偶数，则除以2（每次变换得到一个新数）。从1开始连续变换：1→4→2→1→4→2→…，按此规律，这一串数中的第2027个数是（ ）
💡 提示： 这就是著名的"冰雹猜想"背景。数串 1,4,2,1,4,2,… 每3个循环一次，用2027除以3看余数。 【知识点说明】 在几何图形中通过取中点、对折、分割、拼接等方式不断产生新图形，研究面积、周长、边长或个数的递推规律。核心几何事实：①中点三角形面积是原三角形的1/4，周长是原三角形的一半；②对折一次，面积减半；③"挖去中间三角形"式分割，每操作一次剩余面积变为原来的3/4；④斐波那契式拼接中，新正方形边长等于前两个正方形边长之和。 【做题技巧】 先把前2～3次操作的具体数值算出来，再观察"每次操作后，量是乘以一个固定数（等比），还是加上一个固定数（等差）"。面积、周长类递推常用"乘半""乘四分之一""乘四分之三"；最后一定要代回第1次验证！ 如图，△ABC 的面积为1，取三边中点，连接成第1个新三角形；再取这个新三角形三边的中点，连接成第2个新三角形；……，按此规律，第 n 次所得三角形的面积是 ________ ，第4次所得三角形的面积是 ________ 。
💡 提示： 连接三边中点得到的三角形与原三角形相似，面积是原三角形的1/4。每次操作面积都乘1/4。 一张面积为64cm²的长方形纸，每对折一次，面积变为原来的一半。对折 n 次后，纸的面积是 ________ cm²；至少对折 ________ 次后，纸的面积小于1cm²。
💡 提示： 每折一次乘1/2：64→32→16→8→…，注意"小于1"是严格小于，等于1不算，别忘了多折的那一次。 线段 AB 上有一个点（不与 A、B 重合）时，图中共有3条线段；有两个点时，共有6条线段；有三个点时，共有10条线段；……，按此规律，当线段 AB 上有5个点时，共有线段（ ）条。
💡 提示： 连同端点 A、B 在内一共7个点，任意两个点确定一条线段，相当于从7个点中任取2个：7×6÷2。 如图，一个面积为16的三角形，第1次操作：连接三边中点，挖去中间的小三角形；第2次操作：对剩下的每个三角形分别进行同样的操作（各挖去中间的小三角形）；……，按此规律，第3次操作后，剩下图形的面积是 ________ 。
原图（面积16） 第1次后（剩 16×3/4） 第2次后（剩 16×3/4×3/4） 💡 提示： 挖去中间三角形后，剩下3个小三角形，面积和是原来的3/4。每操作一次，剩余面积都乘以3/4。 如图，一系列正方形按如下方式拼接：第1、2个正方形的边长都是1，第3个的边长为2，第4个的边长为3，第5个的边长为5，第6个的边长为8，……（从第3个起，每个正方形的边长都等于它前面两个正方形的边长之和）。则这前6个正方形的面积之和是 ________ ，第7个正方形的边长是 ________ 。
（这就是著名的"斐波那契正方形"拼接，螺旋线在自然界随处可见） 💡 提示： 边长序列 1,1,2,3,5,8,… 就是斐波那契数列；面积 = 边长²，逐个平方再求和。
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