中考几何截长补短培优|补构造全等,证明线段和差关系

四季读书网 2026-09-15 06:10:49 5 0

初中几何里线段和差证明题，一直是很多同学的难点。看到要证DE=AB+AF这种一条线段等于另外两条线段相加的题型，第一时间就要想到截长补短法。这道题条件隐蔽，角度互补、垂直、线段相等交织在一起，辅助线构造思路很巧妙，是典型的中考拔高几何题。

原题：已知AD⊥BC，AD=BC，DE⊥AB，∠BAC+∠DAC=180°，求证：DE=AB+AF。

这道题核心思路是补短法：延长BA到点G，使AG=AF，把AB+AF转化成整条线段GB，接下来只需要证明DE=GB即可。

首先处理角度条件：

已知∠BAC+∠DAC=180°，

又∠BAC+∠GAC=180°，

根据同角的补角相等，可得∠GAC=∠DAC。

在△ AGC和△AFC中：

AG=AF

∠GAC=∠FAC

AC=AC

由SAS判定，△AGC△AFC。

因为AD⊥BC，所以∠AFC=90°，因此∠AGC=90°。

接下来推导角度相等：

在Rt△AFB中，∠2+∠4=90°；

在Rt△AED中，∠2+∠3=90°；

根据同角的余角相等，得到∠3=∠4。

现在看△AED和△CGB：

∠3=∠4

∠AED=∠CGB=90°

AD=CB

满足AAS全等条件，△AED△CGB。

由全等三角形对应边相等，可得DE=GB。

而我们最开始构造的GB=AB+AG，又因为AG=AF，

等量代换就得到：DE=AB+AF，原题得证。

题型思路复盘

线段和差证明，优先用截长补短。这道题没有直接的线段和条件，我们主动延长线段补出AG=AF，把分散的两条线段拼接成一条完整线段，再通过两次全等完成边长转化。

这里的关键突破口，是利用角度互补推出相等角，为第一次全等创造条件；再借助直角三角形余角相等，找到第二次全等的角度条件。

这类题型综合了补角性质、全等三角形判定、直角三角形性质，非常考验辅助线构造逻辑，建议收藏梳理思路，遇到同类线段和差题型可以直接套用。

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文章来源：四季读书网