【真题】2005年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2005年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

曲线  的斜渐近线方程为 ?

泰勒即可。

unsetunset第2题unsetunset

微分方程  满足  的解为 ?

一阶线性，套公式或者用积分因子，我这里就直接套公式了。

unsetunset第3题unsetunset

设函数 ，单位向量 ，则  ?

求出方向余弦和对应的偏导数，套方向导数的公式即可。

unsetunset第4题unsetunset

设  是由锥面  与半球面  围成的空间区域， 是  的整个边界的外侧，则  ?

高斯公式，三重积分部分采用球坐标系。

unsetunset第5题unsetunset

设  均为 3 维列向量，记矩阵

如果 ，那么  ?

用过渡矩阵表示后取行列式即可。

unsetunset第6题unsetunset

从数  中任取一个数，记为 ，再从  中任取一个数，记为 ，则  ?

两步完成，考虑全概率公式。

事实上，根据这个背景我们可以做如下推广，并求出其期望和方差：

unsetunset第7题unsetunset

设函数 ，则  在  内 ?

(A) 处处可导.

(B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点.

(D) 至少有三个不可导点.

根据  次方根极限相关结论可知需要分两类讨论，画出  图像即可判断出不可导点的数量。

unsetunset第8题unsetunset

设  是连续函数  的一个原函数，“” 表示“ 的充分必要条件是 ”，则必有 ?

(A)  是偶函数  是奇函数.

(B)  是奇函数  是偶函数.

(C)  是周期函数  是周期函数.

(D)  是单调函数  是单调函数.

和 1999 年数一第 6 题考察的是一个知识点，这里不再赘述。

unsetunset第9题unsetunset

设函数 ，其中函数  具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

简单计算题，选 B。

unsetunset第10题unsetunset

设有三元方程 ，根据隐函数存在定理，存在点  的一个邻域，在此邻域内该方程 ?

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 .

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数  和 .

(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数  和 .

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数  和 .

数一首次考察隐函数存在定理，我们先来复习一下定理内容：

设函数  在  的某一邻域内具有连续偏导数且 ，，则方程  在点  的某邻域内恒能确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 .

于是本题只需要判断在点  处哪些偏导不为零即可，选 D。

unsetunset第11题unsetunset

设  是矩阵  的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则  线性无关的充分必要条件是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

对于相关无关类型的题目，我们一般都有两种处理角度，一种是根据定义；另一种是考虑秩。

对于本题，第一种方法从定义出发，结合特征值的定义即可得到结论，过程稍显繁琐。

第二种做法，将两个向量拼成矩阵，分块后运用保秩公式即可。

保秩公式有两种推导方法，第一种是考虑同解方程；另一种是直接根据 Sylvester 不等式推出。由于后者比较简单，所以我之前讲的时候就用的是 Sylvester 不等式进行推导的，具体过程可以点击文末的【阅读原文】。

unsetunset第12题unsetunset

设  为  阶可逆矩阵，交换  的第  行与第  行得矩阵 ， 分别为  的伴随矩阵，则 ?

(A) 交换  的第  列与第  列得 .

(B) 交换  的第  行与第  行得 .

(C) 交换  的第  列与第  列得 .

(D) 交换  的第  行与第  行得 .

考察第一类初等矩阵的相关性质，关于三类初等矩阵的行列式和逆的相关结论我在 1997 年第 20 题详细讲解过，这里不再展开，选 C。

unsetunset第13题unsetunset

设二维随机变量  的概率分布如下表。已知随机事件  与  相互独立，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

题目信息比较多，首先根据表格中所有数字之和为 1 可以列出第一个等式；再根据题目给的独立列出第二个等式，联立求解即可，选 B。

unsetunset第14题unsetunset

设  为来自总体  的简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

结论题，这部分内容千万不要死记硬背，很容易记混。自己全都推导一遍才是正解。答案是 D。四个选项依次分析如下：

unsetunset第15题unsetunset

设 ， 表示不超过  的最大整数，计算二重积分

数一首次，也是目前唯一一次考察取整函数，分区间积分即可。

本题取整函数考察的很简单，想要拓展的朋友可以参考我之前讲的取整函数专题系列文章：硬核！！！取整函数积分神级结论！！！

unsetunset第16题unsetunset

求幂级数  的收敛区间与和函数 .

收敛域直接根式判别就行，没啥说的。下面来看和函数，首先注意到可以裂项：

那么分别对每一项套用相应的泰勒级数即可，没有难度。

unsetunset第17题unsetunset

如图，曲线  的方程为 ，点  是它的一个拐点，直线  与  分别是曲线  在点  与  处的切线，其交点为 。设函数  具有三阶连续导数，计算定积分

导函数的阶数这么高，很明显需要分部积分把阶数一点点降下来，需要的数据直接从图里面找即可。

unsetunset第18题unsetunset

已知函数  在  上连续，在  内可导，且 。证明：

(1) 存在 ，使得 ；

(2) 存在两个不同的点 ，使得 。

第一问，零点定理。

第二问，由于题目强调是“不同”的两点，因此属于双中值问题，分区间拉格朗日即可。

unsetunset第19题unsetunset

设函数  具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线  上，曲线积分

的值恒为同一常数。

(1) 证明：对右半平面  内的任意分段光滑简单闭曲线 ，有

(2) 求函数  的表达式。

第一问，我很喜欢这一问，是对问题本质的考察。考虑积分与路径无关这一结论在课本上的证明方式即可。

第二问，根据第一问的结果可知满足恰当条件，列出等式化简积分即可。

unsetunset第20题unsetunset

已知二次型  的秩为 。

(1) 求  的值；

(2) 求正交变换 ，把  化成标准形；

(3) 求方程  的解。

第一问，根据不满秩推出行列式为 0，即可求解。

第二问，套路题，这类题的做题流程我在 1990 年第 18 题详细讲解过，忘记的朋友可以回顾一下。

第三问，由于第二问刚求过标准型，所以我们根据标准型求出通解再变换回去即可。

当然，如果没有这个第二问“干扰”，直接观察  的表达式也可以直接得出结论：

所以根据  即可一步得到通解为 .

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已知  阶矩阵  的第一行是 ， 不全为零，矩阵

( 为常数)，且 ，求线性方程组  的通解。

根据  推出 ，从而自然而然地分为两种情况：第一种情况，，则 ，根据解空间维度公式可知只需要找到两个线性无关的解向量即可；第二种情况，，那么  可能是 1 有可能是 2，于是再分两类讨论即可。

unsetunset第22题unsetunset

设二维随机变量  的概率密度为

求：

(1)  的边缘概率密度 ；

(2)  的概率密度 。

第一问直接按定义求解即可。

第二问和 1987 年数一最后一题类似，具体技巧不再赘述，忘记的朋友可以回顾一下。

第一种方法是采用分布函数法：

第二种是利用（卷积）公式法进行求解：

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设  为来自总体  的简单随机样本， 为样本均值，记 。

求：

(1)  的方差 ；

(2)  与  的协方差 。

和 2004 年数一第 14 题考察的考点一样，此处不再展开。

以上就是对于2005年数一真题的全部解答，第19题很有练习价值，21题对分类讨论能力进行考察；除此之外，第10题首次考察隐函数存在定理。其他题目中规中矩，值得练习。