前言

今天我们来看北京大学数学分析考的一道证明题，即便放到现在来看，依旧有一定的难度和区分度。

不愧是全国top1，考的真题的确经典！

北京大学数学分析考研真题

题目

已知函数  在  上四阶可导，且存在  使得

证明：存在 ，使得

解析

令

则  在  上四阶可导，并且

同时，若存在  使得 ，则

从而得到所需结论，因此只需证明存在  且  使得

下面记  为 ，即不妨设

并证明存在  使得 .

分两种情形讨论。

• 情形 1：.

由带  余项的  展开（），得

结合  得

于是存在 ，使得对一切满足  的  都有

下面只写  的情形；若 ，将所有不等号方向同时反向即可，论证完全相同。

取

则  且

不妨设 . 考虑连续函数

在区间  上的取值。注意到

由介值定理，存在  使得 ，即

令 ，则  且  成立。

• 情形 2：.

由已知  且 ，对  在  处作四阶  展开（带  余项），得

结合 、、 得

于是存在 ，使得对一切满足  的  都有

同情形 1，若  则在  的去心邻域内 ；若  则在该去心邻域内 . 选取

则  与  同号且非零，完全复用情形 1 的介值定理论证，即可得到存在  使得 .

综上两种情形均成立，从而原命题得证。

做完这道题目，是不是觉得自己也能上北大了呢？

全程依旧没有用到太过高深的知识，都是一些很基础的东西！