【真题】2004年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2004年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

曲线  上与直线  垂直的切线方程为 ?

注意力。注意不到就老老实实设切点表示切线。

unsetunset第2题unsetunset

已知 ，且 ，则  ?

换元或者代数变形得到  表达式，积分求出原函数即可。

unsetunset第3题unsetunset

设  为正向圆周  在第一象限中的部分，则曲线积分  的值为 ?

第一种方法直接代入参数方程计算：

当然也可以补线以后用格林公式，两种方法计算量都不大。

unsetunset第4题unsetunset

欧拉方程  的通解为 ?

数一首次考察欧拉方程，套路题，做换元  即可，后续过程同济版高数例题就是使用算子进行解决的。

unsetunset第5题unsetunset

设矩阵

矩阵  满足 ，其中  为  的伴随矩阵， 是单位矩阵，则  ?

移项取行列式，结合  即可解决。

unsetunset第6题unsetunset

设随机变量  服从参数为  的指数分布，则  ?

考察指数分布的方差。

unsetunset第7题unsetunset

把  时的无穷小量  排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

考察变限积分的等价，1993 年数一第 6 题我详细总结过这个考点的部分结论，这里不再赘述。

unsetunset第8题unsetunset

设函数  连续，且 ，则存在 ，使得 ?

(A)  在  内单调增加.

(B)  在  内单调减少.

(C) 对任意的 ，有 .

(D) 对任意的 ，有 .

导数定义结合极限的保号性，选 C。

unsetunset第9题unsetunset

设  为正项级数. 下列结论中正确的是 ?

(A) 若 ，则级数  收敛.

(B) 若存在非零常数 ，使得 ，则级数  发散.

(C) 若级数  收敛，则 .

(D) 若级数  发散，则存在非零常数 ，使得 .

B 选项就是比较判别法的极限形式，其他选项随便举个反例即可。

unsetunset第10题unsetunset

设  为连续函数，，则  等于 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

换序。

unsetunset第11题unsetunset

设  是3阶方阵, 将  的第1列与第2列交换得 , 再把  的第2列加到第3列得 , 则满足  的可逆矩阵  为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

考察三类初等矩阵，1997 年第 20 题总结过三类初等矩阵的逆和行列式的相关性质，忘记的朋友可以回顾一下。

unsetunset第12题unsetunset

设  为满足  的任意两个非零矩阵, 则必有 ?

(A)  的列向量组线性相关,  的行向量组线性相关.

(B)  的列向量组线性相关,  的列向量组线性相关.

(C)  的行向量组线性相关,  的行向量组线性相关.

(D)  的行向量组线性相关,  的列向量组线性相关.

根据 Sylvester 不等式得到 ，从而得到  列不满秩， 行不满秩。

不熟悉矩阵秩相关性质的朋友可以参考往期文章，有详细讲解。有关矩阵秩的不等式，还不学会你就落后啦！

unsetunset第13题unsetunset

设随机变量  服从正态分布 , 对给定的 , 数  满足 . 若 , 则  等于 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

考察标准正态分布的上  分位数，画图即可，选 C。

unsetunset第14题unsetunset

设随机变量  独立同分布, 且其方差为 . 令 , 则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

本题的结论在之后的数一大题中再次考察过，值得重视。

因为随机变量独立同分布，因此两两独立，即有：

后续根据定义展开计算即可，选 A。

unsetunset第15题unsetunset

设 , 证明 .

高中题，同构即可。

unsetunset第16题unsetunset

某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离, 在触地的瞬间, 飞机尾部张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为  的飞机, 着陆时的水平速度为 . 经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 ). 问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?

大物期末题。使用如下技巧：

具体过程如下：

unsetunset第17题unsetunset

计算曲面积分

其中  是曲面  的上侧.

补面法  高斯公式，三重积分部分采用柱面坐标系解决。

unsetunset第18题unsetunset

设有方程 , 其中  为正整数. 证明此方程存在唯一正实根 , 并证明当  时, 级数  收敛.

第一问通过零点定理结合单调性即可说明。

第二问，根据第一问判断的零点范围对通项进行放缩，转化为  级数，从而说明收敛。

unsetunset第19题unsetunset

设  是由  确定的函数, 求  的极值点和极值.

纯计算题，对求出来的两个驻点分别使用充分条件进行判断，计算量不小。

unsetunset第20题unsetunset

设有齐次线性方程组

其中 . 试问  取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

非常好的一道题，本质考察秩一矩阵，我之前专门写过文章讲解本题：原来这道题用秩一矩阵就能秒杀？！

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设矩阵  的特征方程有一个二重根, 求  的值, 并讨论  是否可相似对角化.

首先求出特征多项式，然后分情况讨论代数重数和几何重数的关系，比较基础的一道相似对角化判断题。

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设  为随机事件, 且 , 令

求:

(1) 二维随机变量  的概率分布;

(2)  与  的相关系数 .

第一问根据题干给的几个概率即可推出二维概率分布所需的数据。

第二问，根据第一问的联合分布律求出边缘分布律，再根据定义求出相应的期望和方差即可。

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设总体  的分布函数为

其中未知参数 ,  为来自总体  的简单随机样本, 求:

(1)  的矩估计量;

(2)  的最大似然估计量.

基础题。

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