【真题】2001年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2001年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

设  ( 为任意常数) 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解, 则该方程为 ?

根据特征方程的根构造出特征方程即可。

unsetunset第2题unsetunset

设 , 则  ?

梯度是矢量，散度是标量。

unsetunset第3题unsetunset

交换二次积分的积分次序:  ?

注意题目所给积分中  的范围是从右向左的，很坑！

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设矩阵  满足 , 其中  为单位矩阵, 则  ?

凑因子法。

对矩阵求逆方法掌握不全面的朋友可以参考往期文章：逆矩阵的所有方法都在这里了！！！夯爆了！

unsetunset第5题unsetunset

设随机变量  的方差为 , 则根据切比雪夫不等式有估计  ?

套公式即可。

unsetunset第6题unsetunset

设函数  在定义域内可导,  的图形如右图所示, 则导函数  的图形为 ?

高中题。

unsetunset第7题unsetunset

设函数  在点  附近有定义, 且 , 则 ?

(A) .

(B) 曲面  在点  的法向量为 .

(C) 曲线  在点  的切向量为 .

(D) 曲线  在点  的切向量为 .

复习 1994 年数一第 7 题的二元函数关系图，可知偏导数存在无法推出可微，因此 A 错误。B 选项套公式即可；C 和 D 是一回事，将曲线表示为  的参数方程后对  求导即可。

unsetunset第8题unsetunset

设 , 则  在点  可导的充要条件为 ?

(A)  存在.

(B)  存在.

(C)  存在.

(D)  存在.

A、C 选项取  立马排除；D 选项随便取一个分段函数发现也是错的（双动点定义式可导的条件本来就很严格）。

至于 B 选项，根据定义验证即可。

unsetunset第9题unsetunset

设

则  与  ?

(A) 合同且相似.

(B) 合同但不相似.

(C) 不合同但相似.

(D) 不合同且不相似.

实对称矩阵一定可以相似对角化，并且相似必合同。

unsetunset第10题unsetunset

将一枚硬币重复掷  次, 以  和  分别表示正面向上和反面向上的次数, 则  和  的相关系数等于 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

高中题，注意相关系数不是斜率，只要满足 ，其中 ，则相关系数都是 .

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求 .

分部积分基础题。

unsetunset第12题unsetunset

设函数  在点  处可微, 且 , . 求 .

很好的一道题，深刻考察对偏导的理解。

unsetunset第13题unsetunset

设

试将  展开成  的幂级数, 并求级数  的和.

泰勒秒了。

unset第14题unsetunset

计算 , 其中  是平面  与柱面  的交线, 从  轴正向看去,  为逆时针方向.

斯托克斯公式，转化为第二类曲面积分，注意线面积分都是可以代入曲线方程的。利用投影法定义将第二类曲面积分转换为  面的二重积分进行计算即可。注意利用对称性。

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设  在  内具有二阶连续导数且 , 试证:

(1) 对于  内的任一 , 存在唯一的 , 使  成立;

(2) .

数一首次考察中值定理中  的极限问题。

第一问使用拉格朗日中值定理即可，注意唯一性的说明。根据二阶导数不变号得到一阶导单调，从而说明唯一性。

第二问处理方法就比较多了，可以先凑出导数的定义，然后洛必达。由于题目已知  是二阶连续可导，因此可以洛到 。

当然我们也可以通过泰勒展开对比系数得到关于  的表达式，然后再凑导数定义。

unsetunset第16题unsetunset

设有一高度为  ( 为时间) 的雪堆在融化过程中, 其侧面满足方程 (设长度单位为厘米, 时间单位为小时), 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 ), 问高度为  (厘米) 的雪堆全部融化需多少小时?

很好的一道题，当年很多考生应该都对这个题“印象深刻”。

首先根据截面法求出体积；根据投影法定义求出侧面积。根据体积减少速率和侧面积的关系，得到 ，代入求解微分方程即可。

unsetunset第17题unsetunset

设  为线性方程组  的一个基础解系, , ; , 其中  为实常数. 试问  满足什么关系时,  也为  的一个基础解系.

 只需要让  线性无关即可满足题意。求出  到  的过渡矩阵，使之可逆即可。

unsetunset第18题unsetunset

已知  阶矩阵  与  维向量 , 使得向量组  线性无关, 且满足

(1) 记 , 求  阶矩阵 , 使 ;

(2) 计算行列式 .

第一问，根据  得到 ，对左式化简并和右式比较即可求出 .

第二问，将  代入，利用  化简即可。

unsetunset第19题unsetunset

设某班车起点站上客人数  服从参数为  的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为 , 且中途下车与否相互独立. 以  表示在中途下车的人数, 求:

(1) 在发车时有  个乘客的条件下, 中途有  人下车的概率;

(2) 二维随机变量  的概率分布.

第一问为古典概型；第二问根据乘法公式计算即可。

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设总体  服从正态分布 , 从该总体中抽取简单随机样本 , 其样本均值为 , 求统计量  的数学期望 .

很好的一道题，根据统计量  的表达式我们尝试将  和  打包处理，从而构成一个新的容量为  的简单随机样本，求出它的均值为 ；样本方差为 。因为样本方差的均值是总体方差（即样本方差是对总体方差的无偏估计），因此得到：

从而求出 .

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