2009年考研数学一真题解析（五）：第5题-选择题
系列说明：本系列对2009年考研数学一真题进行逐题详解，帮助考生理解解题思路、掌握核心知识点、避开常见陷阱。
📋 前言
本题概况
年份：2009年 题号：选择题第(5)题 分值：4分 难度：★★★☆☆（中等） 核心考点：向量空间的基与过渡矩阵
命题特点
本题只考一个定义：过渡矩阵。难点不在计算，而在方向不能搞反——从基 到基 的过渡矩阵 满足 ，即"新基 = 旧基 × 过渡矩阵"， 写在右边。方向记错就会得到逆矩阵，而本题选项 (C)(D) 正是按这个陷阱设计的（它们是正确答案的逆矩阵形式）。
正确做法是把两组基都用同一个矩阵 表示出来，然后消去 ，全程不需要求逆。
第(5)题（向量空间·过渡矩阵）
📝 题目
（5） 设 是 3 维向量空间 的一组基，则由基 到基 的过渡矩阵为（ ）
难度：★★★☆☆知识点：#向量空间 #基 #过渡矩阵 #坐标变换预计用时：3-4分钟
答案：(A)
解法一：统一用 表示两组基（标准解法）
解题思路
过渡矩阵的定义是 。两组基都是 的线性组合，所以把它们分别写成 右乘某个矩阵，再把两个式子拼起来消掉 即可。
详细步骤
第一步：记 ，把旧基写成
旧基是 。每个新向量只用到一个 ，所以组合矩阵是对角矩阵：
其中 。
列的读法： 的第 列 。所以组合系数按列写，这是全题最容易搞错的地方。
第二步：把新基写成
新基是 。逐列写出系数：
第 1 列 ：系数 第 2 列 ：系数 第 3 列 ：系数
第三步：由 可逆，把 换成旧基
由第一步 ，且 可逆，得 。代入第二步：
按定义，从旧基到新基的过渡矩阵就是
第四步：计算
左乘对角矩阵 = 把第 行乘以第 个对角元（第1行×1，第2行×2，第3行×3）：
与选项 (A) 一致。
结论：选 (A) ✓
解法二：逐列直接凑（免矩阵乘法）
解题思路
过渡矩阵 的第 列就是新基第 个向量在旧基下的坐标。直接把每个新基向量用旧基 、、 表示出来，读系数即可，不用做任何矩阵乘法。
详细步骤
第一步：反解
第二步：把三个新基向量用 表示
第三步：把三个坐标按列拼成
与 (A) 一致。
注意与 (B) 的区别：(B) 恰好是 。上面三个坐标若按行拼就得到 (B)，这正是命题人设置的第二个陷阱——坐标必须按列排。
答案：(A)
解法三：特殊值代入验证（3分钟排除法）
解题思路
考场上若来不及推导，可取具体基向量算， 是任意一组基，直接取标准基 （即 ）最省事。
详细步骤
取 ，则
只需检验哪个选项满足 。用 (A) 试算：
排除 (C)(D) 的秒判技巧：(C)(D) 的元素全带分母 ，是 那一侧的形状（即"从新基到旧基"的过渡矩阵）。既然旧基含 而新基是整系数组合， 必然是整数矩阵，含分数的选项直接排除。剩下 (A)(B) 互为转置，用任一列核对即可。
答案：(A)
✅ 答案
A
🎯 关键要点
核心技巧：
定义方向：从基 到基 的过渡矩阵 满足 ， 在右边，口诀"新基 = 旧基 × 过渡" 两组基都用同一个 表示，写成 与 ，则 ，全程无需求逆（ 是对角矩阵时求逆就是取倒数） 的第 列 = 新基第 个向量在旧基下的坐标，系数一律按列排 结构判断：旧基含 、新基整系数，则 一定是整数矩阵，含分数的选项可直接排除 易错点：
方向反了得到 （本题误选 (C) 或 (D)） 行列转置得到 （本题误选 (B)） 忘记 ，把 直接抄进矩阵 时间优化：解法二逐列凑坐标约 1.5 分钟，最快；解法一是通用套路约 3 分钟；结构判断（整数 vs 分数）可在 20 秒内排除掉一半选项
核心知识点
1. 向量空间的基与坐标
基的定义：设 是 维向量空间，若 线性无关，则称它们为 的一组基， 为 的维数。
坐标的定义：若 ，则称 为 在基 下的坐标。
唯一性：给定基后，任一向量的坐标唯一确定（这是由线性无关性保证的）。
矩阵形式：，其中 是坐标列向量。
2. 过渡矩阵（本题核心）
定义：设 与 是 的两组基，若
则称 为从基 到基 的过渡矩阵。
核心性质：
必可逆（两组都是基，秩都为 ） 从 到 的过渡矩阵是 的第 列 = 在基 下的坐标 传递性：，则
3. 坐标变换公式（与过渡矩阵方向相反）
设向量 在基 下坐标为 ，在基 下坐标为 ，且 ，则
关键对照（考试高频混淆点）：
**基与坐标"反向变化"**：基向量"变大"（乘 ），同一向量在新基下的坐标就"变小"（乘 ）。
4. 本题应用
记 ：
常见错误
错误1：过渡矩阵方向搞反
❌ 错误：把 写在左边，即 ，或求出的是"从新基到旧基"的矩阵
✅ 正确：， 在右边；本题求的是"从 到"，所以前者是旧基
原因：方向反了求出的是 。本题若算成 ，元素会带 这类分母，正对应错误选项 (C)(D)——命题人就是照着这个错法设的干扰项。
判据："从 到 "中， 永远是旧基（等式右边被乘的那个）， 是新基（等式左边）。
错误2：坐标按行排而不是按列排
❌ 错误：算出三个新基向量的坐标 、、 后按行写成
✅ 正确：按列写成
原因：矩阵乘法 中，结果的第 列由 的第 列决定，所以第 个新基向量的系数必须写在第 列。错误做法得到的正是 ，即干扰项 (B)。
错误3：把 与 弄混
❌ 错误：由旧基含 ，直接写 ，得到含分数的矩阵
✅ 正确：，而 ，得到整数矩阵
原因：由 反解出的是 ，代入时用的是 。
直观理解：旧基第 2 个向量 只有 的一半长，所以要凑出 需要2 份，系数是 2 而非 。
错误4：混淆基变换与坐标变换
❌ 错误：认为基的变换矩阵和坐标的变换矩阵是同一个
✅ 正确：基用 （），坐标用 （），两者互逆
原因：向量本身不随基改变，基"放大"必然使坐标"缩小"。若题目问的是"某向量在新基下的坐标"，需要的是 ，不是 。
解题技巧
万能三步法：
两组基都用同一个 表示：， 代入消 ： 读出 对角矩阵简化： 为对角阵时 只需把对角元取倒数；左乘 = 第 行乘 ，右乘 = 第 列乘
逐列凑坐标法（选择题最快）：把每个新基向量用旧基表示，系数按列拼成 ，跳过所有矩阵运算
取标准基验证： 是任意基，可取 把抽象问题变成具体数值计算，代入选项检验
结构预判排除：观察 的元素应为整数还是分数，含"错误类型"元素的选项直接排除，通常能砍掉一半
验算习惯：算完用 乘回去，看是否复原新基，20 秒可确认
举一反三
变式1： 求本题中从基 到基 的过渡矩阵。
提示： 就是 。注意 ，
再右乘 （第 2 列 、第 3 列 ），结果正是选项 (C)。这说明 (C) 是"方向反了"的答案。
变式2： 设向量 在基 下的坐标为 ，求它在基 下的坐标。
提示： 用 ，其中 是本题答案 (A)、。注意方向：坐标变换用 ，与基变换相反。
变式3： 若 ，求从 到 的过渡矩阵及其逆。
提示： 按列写系数得上三角矩阵
这是过渡矩阵最典型的形式，值得记住。
变式4： 证明过渡矩阵一定可逆。
提示： 由 且两组均为基，得 。若 不可逆则 ，从而 ，与 矛盾。
难度评估
⭐⭐⭐☆☆（中等）
考点分布：
过渡矩阵的定义与方向（50%） 基与坐标的矩阵表示（25%） 矩阵乘法与对角矩阵求逆（25%）
时间建议： 3-4分钟
🔗 相关知识
过渡矩阵定义：（新基 = 旧基 × ）
坐标变换：，即 （新坐标 = × 旧坐标）
四个选项的来源对照表（理解干扰项设计）：
选项 矩阵 对应的错误 (A) 正确答案 (B) 坐标按行排而非按列 (C) 方向反了（从新基到旧基） (D) 方向反 + 转置，两错叠加 对角矩阵乘法速记： 左乘 → 第 行 ；右乘 → 第 列
大纲章节：线性代数 > 三、向量
🔗 相关资源
本系列其他文章
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配套资料
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