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希望杯（希望数学）每年的试卷类型有比较多，很多家长弄不太明白，这里作一科普，IHC编号开头的一般是冬季考试的试题，HMTC-I编号开头的一般是夏季考试的试题。试题有 A、B、C、D、E、F、S、W等不同试卷（不是每年都有这么多不同的试卷，字母不同代表考试地区不同），同年级难度和考点接近，希望数学考试难度一般为两星到四星，一般需要考到68%的分数才能获得一等奖（前10%，部分省份只有5%）。另，2024年后广东区域希望数学同时也叫做大广研学，大广研学相对其他区域的希望数学试卷难度更高一些。
希望数学试卷试题编号（供参考）：
上海、浙江、福建、四川、陕西、山东A卷
江苏S卷
河北、重庆、辽宁、贵州E卷
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S卷真题＋答案解析
解析：2026个202620262026...2026×101=2026个202620262026...2026×(100+1)
=2026个202620262026...202600+2026个202620262026...2026
竖式相加：
2026 2026 2026 ... 2026 00
+ 2026 2026 ... 2026 2026
------------------------------
2046 4646 4646 ... 4646 26
结果形如20464051个464646...4626 ，所有数位均为偶数（2,0,4,6），所以有0个奇数数位。
第8题：年龄问题
题目： 今年希希和爸爸的年龄比是2:7 ，五年后希希和爸爸的年龄比是3:8 。希希今年______岁。
答案： 10
解析：
方法一（份数法）：
希希 | 爸爸 | ||
今年 | |||
5年后 |
年龄差不变，说明1份量是统一的。
1份=5÷(3−2)=5（岁）
今年希希：5×2=10（岁）
方法二（方程法）：设希希今年 2x岁：(2x+5):(7x+5)=3:8
8(2x+5)=3(7x+5) 16x+40=21x+15x=5
今年希希：2×5=10（岁）
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第9题：图形计数
题目：下图中共有______个长方形（含正方形）
答案：133
解析：图形由两个嵌套的长方形网格组成。
内部（3×4网格）：(1+2+3)×(1+2+3+4)=6×10=60 （个）
外部（同结构）：60（个）
内外重复计算：3（个）
内外交叉：
横着：2×2=4（个）
竖着：6×2=12（个）
总计：60×2−3+4+12=133（个）
第12题：日历问题、奇偶性
题目： 某月有三个星期六的日期都是偶数，这个月的第三个星期五的日期是______日
答案：15
解析：相邻两个周六差7，必一奇一偶。3个偶数周六只能是：偶、奇、偶、奇、偶 的模式。
即周六日期为：2, 16, 30（或其他类似组合）
1号为周五，则第3个周五是15日。
第13题：余数性质、剩余问题
题目： 一个三位数，如果扩大到原来的20倍再除以3，余数是1；如果扩大到原来的26倍再除以5，余数是2；如果扩大到原来的2026倍再除以7，余数是3。这个三位数最小是______
答案：197
解析：设该数为x：
20x÷3余1 ⇒2x÷3余1 ⇒x÷3余 2
26x÷5余2 ⇒x÷5余2
2026x÷7余3 ⇒x÷7余1
由前两个：x≡2(mod15) ，即 x=2,17,32,47,62,77,92,...
检验除以7余1：
2÷7=0...2 ✗
17÷7=2...3 ✗
32÷7=4...4 ✗
47÷7=6...5 ✗
62÷7=8...6 ✗
77÷7=11...0 ✗
92÷7=13...1 ✓
最小解为92，加 [3,5,7]=105 ：92+105=197
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第14题：等高模型、几何模型
题目：如图，在三角形ABC中，点P在边AB上，且 AP:PB=2:1 ；点Q在边 AC 上，且AQ:CQ=2:1 。连接BQ ，CP ，它们相交于点O 。已知三角形ABC的面积为45，则三角形POQ的面积为 ______
答案：4
解析：AP:AB=2:3 ，CQ:AC=1:3
由金字塔与沙漏模型：BCPQ=ABAP=32 ，故 OCPO=BCPQ=32
S△POQ=S△CPQ×52=S△APC×31×52=S△ABC×32×31×52
=45×32×31×52=45×454=4
第17题：体育比赛
题目： 金、木、水、火、土五支足球队进行单循环赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。全部比赛结束后，金、木、水、火、土各队的积分分别为a,b,c,d,e 。如果四位数abcd是2025的倍数，那么土队输了______场比赛。
答案：0
解析：2025的倍数：2025, 4050, 6075, 8100
不可能有两人都0分，排除4050, 8100
0分全输，2分=1+1+0+0，不可能同时出现0分和2分，排除2025
故 abcd=6075
a=6=3+3+0+0或 3+1+1+1
b=0=0+0+0+0（全输）
c=7=3+3+1+0
d=5=3+1+1+0
e需满足总分为偶数（每场比赛共产生2分或3分，总场次10场，总分在20-30之间）
实际e=10−6−0−7−5=2？ 或重新分析：e可以是 3+3+3+1=10或 3+3+1+1=8 ...
经分析，无论哪种，土队都负0场（即e的构成中没有0）。
第18题：逻辑推理
题目：羊村学校有三个班，每班有两个班长。每周例会上每班派一个班长参加。第一次例会小美、小暖、小懒出席了；第二次例会小喜、小美、小慢出席了；第三次例会小沸、小慢、小暖出席了。那么小喜和（ ）在同一个班。
答案：D. 小暖
解析：设第2次例会的3个人（小喜、小美、小慢）分别在一、二、三班。
| × | |||
| ✓ |
第一次：小美、小暖、小懒 → 小美(二班)、小暖(一班)、小懒(三班) ✓
第二次：小喜、小美、小慢 → 各班派一个 ✓
第三次：小沸、小慢、小暖 → 小沸(二班)、小慢(三班)、小暖(一班) ✓
小喜和小暖都在一班。
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第21题：必胜策略
题目：在比奇堡小镇的跨年晚会上，蟹老板把30个红包排成一排，前29个红包里都装有礼物，唯独最后一个红包装的是一项任务——打扫蟹堡王餐馆。海绵宝宝和派大星两人从第一个红包开始轮流拿，每人每次可以拿1~4个红包。如果海绵宝宝先拿红包，要保证不用打扫餐馆，第一次他应该拿______个红包。
答案： 4
解析：目标：让派大星拿到最后一个（第30个）。
把第30个红包留给派大星，前面需要控制30−1=29个红包。
29÷(1+4)=5（轮）...4（个）
海绵宝宝先取4个，然后无论派大星取k个（1≤k≤4 ），海绵宝宝都取5−k个，每轮共取5个。
5轮后，海绵宝宝取完，刚好剩1个给派大星。
第22题：一半模型、等积变形
题目：如图由6个正方形拼成，图中标出了其中两个正方形的边长，那么阴影部分的面积是______
答案：4232
解析：由图可知，中间正方形边长为20+26=46 。
利用等积变形，阴影部分面积等于：462×2=2116×2=4232
第23题：竖式数字谜
题目：希希家的车牌号是一个无重复数字的五位数。希希玩倒立的时候，发现车牌号恰好变成了另外的一个五位数，且这个五位数比原来的五位数大71775。那么，希希正立时看到的车牌号是______
答案：18906
解析：能倒立的数字：0, 1, 8倒立后不变；6倒立成 9；9倒立成 6。
设正立车牌号为abcde ，倒立后为 edcba对应的倒立数字。
由差为71775，个位分析：只有 6−1=5符合（个位差为5）。
尝试：倒立后90681，原数1890690681−18906=71775 ✓
验证：1→1, 8→8, 9→6, 0→0, 6→9，无重复数字 ✓
正立车牌号：18906
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