曹说数学 · 每日提分 | 2019 人教版 · 高中数学
指数对数比大小，先搭桥再比——把新高考真题一次做穿
（对应 2019 人教版 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数：4.2 指数函数的单调性、4.3 对数的概念与运算、4.4 不同函数增长的差异）
每次大考完，总有几个学生拿着卷子来问我："老师，指数对数比大小这题我明明会，怎么又错了？"我翻到那一页，十有八九是栽在"底数、指数、真数三个都不相同"的那种题上。这种题乍一看挺唬人，说到底就三座桥，桥一搭好，谁大谁小立刻清楚。今天咱们拿 2025 新高考I卷第8题打头阵，再配上 2024 天津卷和 2022 全国甲卷T12，三道真题把这三座桥实打实跑一遍。
一、先认三座桥
（1）同底（或同真数）的，直接比指数（或真数）——这是单调性这座直桥。比如 和 ，底都是2大于1，指数大的就大，不用算。
（2）底数、指数、真数全都不一样的，别硬算，找中间量搭桥。最常用的桥是 0 和 1：一个数大于1、一个在0到1之间、一个小于0，大小直接排出来。
（3）几个式子长得像的，把它俩同构化归成"同一个函数 的两个值"，只要比出 谁大，函数值大小就定了。这是构造函数这座斜桥，也是压轴题最爱考的。
教材 必修第一册 第四章 4.2 的例7 就用第（2）座桥：比较 与 ，拿 1 当桥，，一步出结果。真题只是把桥拆得更隐蔽一点。
二、主例：2025 新高考I卷 第8题（5分）
题目：若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ ）。
A. B. C. D.
这道题三个对数底不同、真数也不同，正好是第（3）座斜桥的用武之地。我在考场见过不少学生当场去"取特殊值碰运气"，碰上一个算一个，碰不到就交白卷。咱们反过来，用公共值把三个变量统一成 的函数，反而一眼看穿：
设 ，则
现在比 的大小，等价于在两两之间找"谁超过谁"的临界 值。逐个来：
（1）比 ：，整理得 （记作 ）。
（2）比 ：，整理得 （记作 ）。
（3）比 ：，整理得 （记作 ）。
注意 ，按 从小到大把数轴切成四段，每一段的大小关系都是确定的：
当 时， 且 且 ，得到 （对应选项 A，可能）；
当 时，（对应选项 C，可能）；
当 时，（对应选项 D，可能）；
当 时，得到 ，而选项里没有这个顺序。
所以四个选项里唯一不可能出现的是 B：——它要求 又要求 ，可 要在 ，而 要在 ，两边矛盾，根本凑不出来。答案选 B。这道题硬算几乎不可能，搭桥一看就透。
三、例1：2024 天津卷类型——中间量搭桥
设 ，比较 的大小。
解：别去算具体数值。，因为真数 ；再看 ，底数大于1、指数为负，落在 和 之间；。用 0 和 1 两座桥一排：。这题考的就是你能不能忍住不算、先分类。
四、例2：2022 全国甲卷 T12——同构构造函数
设 ，比较 大小。
解：三个式子都是"某个数的对数除以这个数"，结构一模一样，这正是第（3）座斜桥的信号。构造
当 时 ， 单调递减。注意一个巧劲：。而 都在 内，递减意味着 ，也就是 。一个等号把 平移到 ，比直接算三个近似值利落得多。
五、今天回来就做三件事
（1）遇见"三个都不同"的比大小，先别动笔算，默念三座桥，挑一座能用的。
（2）中间量优先试 0 和 1，十次有七次能直接排出来，省下的时间留给压轴。
（3）看到 、、 这类"分式带对数"的，条件反射想构造函数，导数一求单调性就现形。
这几个坑，我都替你标好了：一是见题就按计算器，越算越乱还超时；二是同构时硬把 和 当分数比大小，忘了它们其实是函数值；三是把 的递减区间记成 或 ，临界点在 不是 。
今日随堂练
（练习1，必修第一册 第四章，难度：中）设 ，比较 的大小。
（练习2，难度：中偏上）比较 的大小。
答案与解析
练习1：（真数小于1）；，落在 和 之间；。用 0、1 搭桥得 。
练习2：沿用例2的 ，在 递减。由 得 ，即 。这题比例2还干净，因为三个自变量都在递减区间里，不用像 那样借 平移。
把你的解答写在留言区，老师会精选～
下期预告：统计与概率（必修）——频率分布表与古典概型，别被"不少于/恰有"绕晕（必修第二册 第九章、第十章）
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