【真题】1997年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是1997年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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 ?

非零因此先代入，根据极限的四则运算拆成两个极限，第一个使用等价无穷小，第二个是有界量  无穷小。

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设幂级数  的收敛半径为 ，则幂级数  的收敛区间为 ?

考察逐项求导不改变收敛半径，剩下的换元理解即可。

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对数螺线  在点  处的切线的直角坐标方程为 ?

根据极坐标和直角坐标系的对应关系，得到：

两边同时对  求导，得到斜率。

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设 ， 为  阶非零矩阵，且 ，则  ?

根据经典不等式  不等式可以得到两个矩阵乘积是零矩阵时的一个重要不等式：

如果不熟悉  不等式可以参考我之前讲的矩阵秩专题系列文章，其中设计到这个不等式的为如下这一篇，可以复习一下： 

有关矩阵秩的不等式，还不学会你就落后啦！

而本题中  是非零矩阵，秩至少是1，所以  一定不满秩，因此 ，从而求出 。

当然，还可以将题干条件理解成线性方程组  存在非零解。那么也可以里面得到 。

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袋中有  个乒乓球，其中  个是黄球， 个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 ?

抽签原理，秒了。

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二元函数

在点  处 ?

(A) 连续，偏导数存在。

(B) 连续，偏导数不存在。

(C) 不连续，偏导数存在。

(D) 不连续，偏导数不存在。

首先验证连续，我们取一条单路径容易发现  处的极限值和  有关，因此不连续。当然极坐标也可以。

而偏导的存在性根据定义显然是存在的。故选 C。

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设在区间  上 。令

则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

画图，通过几何意义理解。显然选 B。

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设 ，则  ?

(A) 为正常数。

(B) 为负常数。

(C) 恒为零。

(D) 不为常数。

变限积分，首先考虑求导，发现导数为0，因此原函数为常函数，与  的值无关，因此我们可以任取一个好算的  来计算常函数具体的数值。

当然也可以不用变限积分求导，因为被积函数显然是周期为  的周期函数，于是我们根据周期性将区间  的积分变到区间  上进行计算，也是和  无关的。

分部积分后定性分析可得常数大于0，选 A。

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设

则三条直线 （其中 ）交于一点的充要条件是 ?

(A)  线性相关。 (B)  线性无关。 (C) 秩  秩 。 (D)  线性相关， 线性无关。

三线共点等价于线性方程组有唯一解。因此增广矩阵的秩和系数矩阵的秩相等，都等于 。

因此系数矩阵对应的两列满秩，线性无关；增广矩阵对应的三列不满秩，线性相关。因此选 D。

需要注意 A、C 两个选项都只是必要条件，而不是充要条件！

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设两个相互独立的随机变量  和  的方差分别为  和 ，则随机变量  的方差是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

送分题，考察方差的性质。

unsetunset第11题unsetunset

计算 ，其中  为平面曲线  绕  轴旋转一周形成的曲面与平面  所围成的区域。

先二后一投影法，其中二采用极坐标。

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计算曲线积分 ，其中  是曲线  从  轴正方向往  轴负方向看， 的方向是顺时针的。

由于本题所给曲线很容易用参数方程的形式表示，因此我们可以考虑使用  公式的平替——降维后使用  公式。需要注意曲线方向是逆时针的，因此我们取参数 。

当然直接使用  公式也是可以的，选取平面被柱面所截得的曲面，根据右手法则取下侧。剩下的就是套公式计算了。

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在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为 ，在  时刻已掌握新技术的人数为 ，在任意时刻  已掌握新技术的人数为 （将  视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 ，求 。

简单微分方程。注意本题字母较多，计算时可以考虑将部分常数整体换元换掉进行积分运算，最后再换回来，降低出错概率。

unsetunset第14题unsetunset

设直线  在平面  上，而平面  与曲面  相切于点 ，求  之值。

首先求出平面 ，然后剩下的过程就是求平面上满足条件的直线。我觉得这种问题用平面束方程做是最简单的。表示出平面束方程后，只需要求出和  重合，也就是各个系数均成比例的平面。

使用平面束方程一定需要注意一个细节，就是方程是不能表示参数  后面的平面的，也即 ，但是这个平面根据  的系数比例可以知道和平面  一定不重合，因此本题没有在这里设坑。具体过程如下：

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设函数  具有二阶连续导数，而  满足方程 ，求 。

简单计算题。

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设  连续，，且 （ 为常数），求  并讨论  在  处的连续性。

通过条件易知原函数和导函数在  处的值均为0，然后换元后使用洛必达法则即可求出  的表达式，再根据连续性的定义即可求解。

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设 ，证明：

(1)  存在；

(2) 级数  收敛。

第一问是典型的单调有界准则模板题，没啥说的。

第二问，一种方法是考虑比值判别法，对邻项做比，结合第一问求出来的  极限，可得级数收敛。这种方法比较考验代数变形能力。

第二种方法考虑对通项进行放缩，一方面恒正；另一方面小于 ，而后者是正项级数，通过部分和的极限存在即可说明级数收敛，从而根据比较判别法即可说明放缩前的级数也是收敛的。

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设  是秩为  的  矩阵，，， 是齐次线性方程组  的解向量，求  的解空间的一个标准正交基。

首先根据解空间的维度公式求出解空间的维度为2，而观察发现  和  是线性无关的，因此这两个就可以作为解空间的一组基。

题目要求的是标准正交基，那么做  正交化即可。

unsetunset第19题unsetunset

已知  是矩阵  的一个特征向量。

(1) 试确定参数  及特征向量  所对应的特征值；

(2) 问  能否相似于对角阵？说明理由。

第一问根据特征值的定义列出方程求解即可。

第二问考察相似对角化的条件，首先求出矩阵  的特征值，发现是单个三重根 ，即代数重数为3。又根据解空间维度公式我们可以得到， 对应的线性无关特征向量个数只有1个，也就是说几何重数为1，不等于代数重数，因此不可以相似对角化。

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设  是  阶可逆方阵，将  的第  行和第  行对换后得到的矩阵记为 。

(1) 证明  可逆；

(2) 求 。

考察第一类初等矩阵，即将单位阵的第  行（列）和第  行（列）互换所得到的矩阵，我们记作 ，它有两个常用性质：，。

本题的第一问考察的就是第一个性质，第二问考察的就是第二个性质。

由于是第一次出现三类初等矩阵这一考点，所以下面我把这三类初等矩阵的行列式和逆的性质总结一下：

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从学校乘汽车到火车站的途中有  个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。设  为途中遇到红灯的次数，求随机变量  的分布律、分布函数和数学期望。

二项分布的分布律和分布函数。

unsetunset第22题unsetunset

设总体  的概率密度为

其中  是未知参数， 是来自总体  的一个容量为  的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求  的估计量。

考察矩估计和极大似然估计。

矩估计使用总体一阶原点矩 = 样本一阶原点矩列出等式即可。

极大似然估计对似然函数的对数形式求导找驻点即可，期末难度题。

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