前言

今天我们来看浙江大学高代的一道经典考研真题，相对比较简单，但是这种类型题的考频是很高的，还是值得大家重视的哈！

想上浙大，这道高代证明题你得会哦！

浙江大学高等代数考研真题

题目

设  为数域  上的不可约多项式。
 若  且  与  有一公共复根 ，则 .
 若  及  都是  的根， 是  的任一根，证明： 也是  的根。

解析

 由于  在  上不可约，在  中  与  的最大公因式  只能为  或与  相伴（即相差一个非零常数因子）。

若 ，则存在 ，使得

此等式在复数域  上依然成立。令 ，由题设 ，代入得 ，矛盾。

因此 ，它必与  相伴，从而 .

 设

首先证明 . 若 ，则 ，即  是  的根，从而 . 因  不可约，只能有 （），此时  的根只有 . 但已知  且  是  的根，矛盾。故 .

令

易见 . 由  是  的根，得

因此 . 又已知 ，故  与  在  上有公共根 . 由  立得在  中

现任取  的一个根 . 由于 ， 不是  的根，故 . 利用  得 . 于是

因为 ，必有 ，即  也是  的根。证毕。

做完之后，是不是发现没有那么难呢？但如果你在考场上碰到这道题目的话，你能独立做出来吗？

这种类型的题目一般会当做名校的第一道大题，所以大家一定要注意哦！这方面的题型还是应该多练练的哈！