前言

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今天我们来看西安电子科技大学之前考过的一道数学分析考研真题，这是一道错题，不过修改之后仍然是一道极其经典的题目，不仅各名校的数学分析可能会考，考研数学一二三这种也极有可能考哦！

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我不知道当年考场的题目是不是错的，但我看到的版本是错的哈！但我进行了改正，之后又给出了证明！

西安电子科技大学数学分析考研真题

题目

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 证明积分第一中值定理：若函数  在闭区间  上连续，则至少存在一点 ，使得

该定理能否改进为 ？请证明自己的判断。
 若函数  具有二阶导数，且满足

证明至少存在一点 ，使得 .

解析

因为  在  上连续，所以  在  上必能取到最小值  和最大值 ，因此有

由定积分的估值定理，得

若 ，结论显然成立；下设 ，将上式两端除以 ，得

由于  连续，其值域为区间 ，根据连续函数的介值定理，存在 ，使得

即

这就证明了积分第一中值定理。

下面证明该定理可以改进为 .

作函数

则  在  上连续，在  内可导，且 . 对  在  上应用拉格朗日中值定理，存在 ，使得

而

故

因此  可以取在开区间  内。

 在题设条件下该结论不成立。现举反例如下，取 ，则  具有任意阶导数，且

但  对一切  成立，此时不存在  使得 . 故原命题为假，不能证明。

如果将第二个条件修正为 ，则可给出如下证明。

由 ，对  在  上应用拉格朗日中值定理，存在 ，使得

由积分第一中值定理的改进形式（已在本大题  中证明），存在 ，使得

结合修正后的条件 ，得 . 注意 ，在区间  上对  应用拉格朗日中值定理，存在 ，使得

因为 ，，故 . 又  具有二阶导数，故  在  上连续，在  内可导。对  在  上应用拉格朗日中值定理，存在 ，使得

这就证明了所需结论。

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虽然原题有误，但改正之后依旧是一道很有价值的题目哈！

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感觉这种出题的方式还是相对比较新颖的，层层递进，让你自己去判断，这是值得大家重视的一类出题方式哦！