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今天分享的是1993年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unset第1题unsetunset
函数 的单调减区间为 ?
求导即可。
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由曲线 绕 轴旋转一周而得到的旋转曲面在点 处的指向外侧的单位法向量为 ?
求出旋转曲面，然后求偏导得法向量，最后单位化。
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设函数 的傅里叶级数展开式为 ，则其中系数 的值为 ?
套公式，傅里叶系数这类题一般都可以用表格法加快计算速度。
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设数量场 ，则 ?
先求梯度，然后套用散度公式，需要注意的是梯度是一个矢量，而散度是标量。
另外，对于函数含有 的一阶导、二阶导应当熟练掌握（其实做多了都快直接背下来了）。
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设 阶矩阵 的各行元素之和均为零，且 的秩为 ，则线性方程组 的通解为 ?
首先根据解空间维度公式得到解空间维度为1，因此只要求出一个特解即可，而题干第一句话说的就是一个特解。
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设 ，则当 时， 是 的 ?
(A) 等价无穷小
(B) 同阶但非等价的无穷小
(C) 高阶无穷小
(D) 低阶无穷小
看到变限积分，第一种方法就是洛必达，如果看不出来是 也可以待定系数为 ，因此选 B。
当然变限积分等价无穷小是有结论的，由于是第一次出现这个考点，所以这里总结一下常用的3个结论，当然如果下限不是0的话也有相应结论，但是比较复杂，这里暂时先不展开讨论。
结论1：设 在 某邻域内连续，且 时，，，则：
也就是等价的阶数为：(内+1)外。
结论2：若 在 的某邻域内连续，且当 时， 是 的 阶无穷小， 是 的 阶无穷小，则当 时： 是 的 阶无穷小。也是等价的阶数为：(内+1)外。
结论3：若 ，，且 时，，则当 时：
因此本题直接运用结论1即可秒杀。
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双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
定积分的几何运用，由于是第一次出现这个考点，因此下面对这类问题进行一个小总结：
在 和 之间 | |||
|---|---|---|---|
（若有遮挡请左右滑动以查看更多）
因此本题直接套用极坐标形式的公式即可：
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设有直线 与 则 与 的夹角为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
求出两直线的方向向量后套用夹角公式即可。
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设曲线积分 与路径无关, 其中 具有一阶连续导数, 且 , 则 等于 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
与路径无关，因此满足恰当条件，代入得到一个一阶线性非齐次微分方程，套用公式或者使用积分因子法即可。
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已知 ， 为 3 阶非零矩阵, 且满足 , 则 ?
(A) 时, 的秩必为
(B) 时, 的秩必为
(C) 时, 的秩必为
(D) 时, 的秩必为
根据经典不等式 不等式可以得到两个矩阵乘积是零矩阵时的一个重要不等式：
如果不熟悉 不等式可以参考我之前讲的矩阵秩专题系列文章，其中涉及到这个不等式的为如下这一篇，可以复习一下：
根据这个不等式，我们分 和 两种情况讨论即可。
unsetunset第11题unsetunset
求 .
型套路题。
unsetunset第12题unsetunset
求 .
对根式进行整体换元，后面的过程就是运用分部积分，顺水推舟了。
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求微分方程 满足初始条件 的特解.
变形发现是伯努利方程，因此做换元 即可转化为一阶非齐性线性微分方程。
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计算曲面积分 , 其中 是由曲面 与 所围立体表面的外侧.
封闭曲面，直接使用 公式即可，运用球坐标计算三重积分。
unsetunset第15题unsetunset
求级数 的和。
构造幂级数，第一种方法是通过如下三个熟知级数结论进行拼凑，比较快也不容易出错。
上面三个级数的收敛域均为 ，因此本题过程如下：
第二种方法就是常规的逐项求导、逐项积分了。过程如下：
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设在 上函数 有连续导数, 且 , . 证明: 在 内有且仅有一个零点。
通过 中值定理说明存在性，通过原函数单调说明唯一性。
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设 , 证明: .
同构，纯高中题，没啥说的。
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已知二次型 , 通过正交变换化为标准形 , 求参数 及所用的正交变换矩阵。
通过最终的标准型得到三个特征值，然后根据矩阵的行列式等于特征值的乘积得到参数 的值。
然后分别求出三个特征值对应的特征向量，由于属于不同特征值的特征向量一定正交，所以只需要对三个特征向量单位化以后按列拼起来就是我们要求的正交变换矩阵了。
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设 是 矩阵, 是 矩阵, 其中 , 是 阶单位矩阵, 若 , 证明 的列向量组线性无关。
根据矩阵秩的性质：
结合矩阵的秩不超过其行数，也不超过其列数，根据迫敛性得到 ，所以矩阵 列满秩，因此列向量组线性无关。
如果不知道我上面用到的这个矩阵秩的性质，可以复习一下我之前讲过的矩阵秩的常用性质以及常用秩不等式，文章附在下面。
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设物体 从点 出发, 以速度大小为常数 沿 轴正向运动, 物体 从点 与 同时出发, 其速度大小为 , 方向始终指向 , 试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方程, 并写出初始条件。
根据速度方向列出第一个方程，根据速度倍数关系列出第二个方程，联立消去和 及其导数无关的项，得到一个含有变限积分的微分方程，求导得二阶微分方程。
这里需要注意的是：
所以是关于 的变限积分，别被积分变量弄混了。
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一批产品共有 个正品和 个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不再放回, 则第二次抽出的产品是次品的概率为 ?
抽签原理秒了。
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设随机变量 服从 上的均匀分布, 则随机变量 在 内的概率密度 ?
分布函数法。
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设随机变量 的概率密度为 .
(1) 求 的数学期望 和方差 ;
(2) 求 与 的协方差, 并问 与 是否不相关?
(3) 问 与 是否相互独立? 为什么?
前两问纯定义题。
第三问显然是不独立的，因此只需要找到一个不满足独立条件的式子即可。
以上就是对于1993年数一真题的全部解答，总体来看难度比较低，考了一些往年数一没有涉及到的考点，比如变限积分等价无穷小，不定积分几何应用，Sylvester不等式，伯努利方程，抽签原理等，还是很值得练习的一套真题！
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