初二到中考,动点压轴题的＂星图＂:五大模型+亲子共学法(2)

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【二】给家长的“陪读指南”

如果孩子初二：重点看“将军饮马”和“隐圆”。

如果孩子初三：重点攻克“胡不归”和“阿氏圆”。

提醒：不要逼孩子背公式，要让他讲给你听。

每个模型，一个"最小可运行示例"

模型一：将军饮马

将军从A地出发，到河边饮马，再到B地。求最短路径。（A、B两地在河的同侧）

解法：作A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸交于P。AP+PB最短。

本质：把"折线"变成"直线"，两点之间线段最短。

批注：孩子听到"将军饮马"的光学类比时，突然抬头说："这不就是反射吗？"——那一刻我知道，物理和数学在他脑子里连上了。

模型二：胡不归

从A到B，平地速度v₁，山地速度v₂。求最短时间路径。简单说，就是想办法把那条难走的“弯路”，通过三角函数“压”成一条笔直的“近路”。就像把弯曲的吸管捏直了一样。

解法：构造辅助角，使

（类比折射定律）

本质：不同"代价"的路段，最优路径不是直线，而是费马原理的轨迹。

孩子批注："折射！斯涅尔定律！光从空气进水，路径弯折，就是因为速度变了。"

（理工科孩子的条件反射——数学即物理。）

模型三：阿氏圆

动点P满足 PA/PB = k（k≠1）。求P的轨迹。

解法：轨迹是圆，圆心在AB连线上，半径由k决定。

本质：到两定点距离比为定值，不是中垂线（k=1时退化），而是阿波罗尼斯圆。

孩子批注："k=1是垂直平分线，k≠1是圆。特殊情况一般化，这就是数学。"

模型四：隐圆

如图，△ABC中∠A=90°，BC=6固定。A在动，求某线段最值。

解法：BC为直径，A在以BC中点为圆心、半径3的圆上。

本质：定弦对直角 → 顶点轨迹是圆。

上一篇我们的题，就是隐圆的变体：AB中点H到O距离恒定，H在圆上运动。

模型五：瓜豆原理

主动点P在圆上运动，△APQ是等边三角形。求Q的轨迹。

解法：A为"瓜蒂"，P为"主动瓜"，Q为"从动瓜"。轨迹与主动点同形（也是圆），通过旋转相似确定圆心和半径。

本质：刚性连接下的运动传递。

孩子批注："机械臂！基座转，末端画圆。连杆长度固定，轨迹就是圆的缩放。"

成功预测

成功预测2025年中考数学压轴题24题有<角度>介入设计问题，巧合而已，欢迎大家针对“中考命题”方面留言批评指正。

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