今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是1991年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
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设 ，则 ?
参数方程求导，都转化为关于 求导即可。本题函数简单，直接计算即可，若遇到复杂函数，比如2026年江苏省第二十三届高等数学竞赛的第一道大题，可以考虑使用化简后的公式进行计算，即：
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由方程 所确定的函数 在点 处的全微分 ?
两种做法，一是考虑直接用全微分的定义：；另一种做法是直接对题设方程两边同时全微分。我习惯使用后者，过程如下：
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已知两条直线方程为 ，则过 且平行于 的平面方程是 ?
求出法向量后结合所过定点即可。
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已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数 ？
基础的等价无穷小公式。
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设 4 阶矩阵 ，则 的逆矩阵 ？
分块求解即可。
如果只会用定义和初等变换求解逆矩阵，可以看看我之前的这篇文章，详细介绍了所有和逆矩阵有关的方法，非常全面：
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曲线 ？
(A) 没有渐近线
(B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
时分母无定义，求解极限发现是铅直渐近线；然后考虑 和 的情况，发现函数均趋近 ，因此可画出草图，选 D。
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若连续函数 满足关系式 ，则 等于 ？
(A)
(B)
(C)
(D)
求导解微分方程即可。答案选 B。
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已知级数 ，则级数 等于 ？
(A)
(B)
(C)
(D)
考虑奇数项部分和、偶数项部分和和题干所给交错级数部分和的关系。发现后者是由前两者作差所得，因此知二推一，得到答案选 C。
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设 是平面 上以 为顶点的三角形区域， 是 在第一象限的部分，则 等于 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
画出积分区域，反复利用对称性即可。选 A。
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设 阶矩阵 满足关系式 ，其中 为 阶单位矩阵，则必有 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
左乘 ，右乘 ，可得 D 选项正确。
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求 .
型套路题。
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设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数 在点 处沿方向 的方向导数.
套用隐函数形式的法向量公式，从而得到方向余弦。结合函数在 点的梯度即可求出方向导数。
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求 ，其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围成的立体.
首先求出绕 轴旋转所得曲面，画出草图发现使用截面法求解三重积分最简单。
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在过点 和点 的曲线族 中，求一条曲线 ，使沿该曲线从 到 的曲线积分 的值最小.
补线法 + 公式。需要注意题目所给曲线的方向是负向，不要把负号漏了。
然后问题就变成了一元函数最值问题，求导找驻点即可。
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将函数 展开成以 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 的和.
已经是偶函数了，所以只需要进行周期延拓。接下来无脑套公式即可。因为这是真题中第一次出现这个考点，所以下面把相关公式复习一下，之后不再赘述。
设 是 上以 为周期的函数，且在 上可积，则 以 为周期的傅里叶级数为：
其中：
特别地，有周期为 的情况、有 是奇函数对应正弦级数的情况、有 是偶函数对应余弦级数的情况，公式都是类似的，结合奇偶性对上述公式进行化简即可。
本题第一问过程如下：
至于第二问，是巴塞尔问题，这个结论在之前介绍取整函数积分专题时使用过，忘记的朋友可以参考下面这篇文章复习一下。
本题让你用第一问求出来的傅里叶级数进行求解，我们对求出来的级数令 可以得到奇数项平方倒数和的结论，而偶数项的和可以提出 后还原为原问题，即：
解出 即可，过程如下：
值得一提的是，我最近正在搜集有关巴塞尔问题的相关历史证明，准备写一篇科普推文，记得来看哦！
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设函数 在 上连续, 在 内可导, 且 , 证明: 在 内存在一点 , 使得 .
我说这是真题里最简单的中值定理题目，一个没有人有已经吧 : ）
通过积分中值定理找到 ，运用 定理即可。
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设 及 .
（1） 为何值时, 不可由 线性表示?
（2） 为何值时, 可由 唯一线性表示? 并写出该表达式.
按列拼起来构成线性方程组，行变换化为阶梯型即可。
第二问考察何时方程组有唯一解，事实上，问题表述等价于 线性无关，即系数矩阵满秩。这一等价关系我在1988年数一第12题的讲解中拓展过，忘记的朋友可以复习一下，文章附在下面：
因此第二问过程如下：
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设 为 阶正定矩阵, 为 阶单位矩阵, 证明: .
正定矩阵的性质告诉我们他的特征值都是大于0的，那么加上一个单位阵之后特征值就都是大于1的了，而行列式的值又等于特征值的乘积，因此得证。
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在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任意一点 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 长度的倒数 ( 是法线与 轴的交点), 且曲线在点 处的切线与 轴平行.
这道题我比较喜欢，一方面是考察了冷门考点“曲率”，另一方面是问题比较综合。
首先根据曲率等于 得到微分方程：，这是一个不显含 的二阶微分方程，故采用换元 ，，代入化简，分离变量得到关于 的一个一阶微分方程，再次分离变量，积分即可得到 和 的关系式。
注意在得到 的一阶微分方程的过程中会出现开方操作，而在这步之后我都是一直带着 号进行运算的。最后得到 ，现在问题就是这个方程怎么解。首先两边取指数消去对数：
考虑对偶式：
因此：
所以得到方程组：
两式相减除以二即可得到最终的答案。具体过程如下，写的有点乱，所以上面文字解析部分写的比较详细。
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设随机变量 服从均值为 、方差为 的正态分布, 且 , 则 ?
化为标准正态分布，求出 ，结合公式 即可。
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随机地向半圆 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比, 则原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为 ?
画图求面积，一个三角形 + 一个四分之一圆。
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设二维随机变量 的概率密度为
求随机变量 的分布函数.
求的就是分布函数，因此直接用分布函数法即可。在哪求概率就在哪求积分。
以上就是对于1991年数一真题的全部解答，总体来看难度比较低，但还是有一定计算量的。其中第19题是一道非常好的题，很值得练习！
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