【真题】1988年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是1988年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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求幂级数  的收敛域。

解：基础题，使用比值或者根值判别法均可。 

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已知  , 且 ，求 ，并写出其定义域。

解：高中题。

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设  为曲面  的外侧，计算曲面积分 .

解： 公式 + 球坐标系。

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设 ，则  ?

解： 型极限，套路题。

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设  是周期为  的周期函数，它在区间  上的表达式为

则  的傅里叶级数在  处收敛于

解：狄利克雷收敛定理，求的是端点的情况。

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设  是连续函数，且 ，则  ?

解：求导即可。

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设 4 阶矩阵 ，其中  都是 4 维列向量，且 ，则  ?

解：行列式性质。

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若函数  可导，且 ，则当  时，函数  在  处的微分  是 ?

(A) 与  等价的无穷小

(B) 与  同阶的无穷小

(C) 比  低阶的无穷小

(D) 比  高阶的无穷小

解：区分  和 。 因此选 B 选项。

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设  是微分方程  的一个解，若  且 ，则函数  在  处 ?

(A) 取得极大值

(B) 取得极小值

(C) 某邻域内单调增加

(D) 某邻域内单调减少

解：将解代入，结合极值的定义即可。容易发现是极大值，选 A。

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设空间区域 ，则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

解：首先根据  关于  面对称排除 B、D 选项；再根据   关于  面对称排除 A 选项。 综上，选 C。

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若级数  在  处收敛，则该级数在  处 ？

(A) 条件收敛

(B) 绝对收敛

(C) 发散

(D) 收敛性不确定

解：通过 Abel 定理得出收敛半径 ，当然也可以换元理解。 

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 维向量组  线性无关的充分必要条件是 ？

(A) 有一组不全为零的数 ，使得 

(B)  中任意两个向量都线性无关

(C)  中存在一个向量，它不可由其余向量线性表示

(D)  中任意一个向量都不可由其余向量线性表示

解：D 选项说的就是线性无关的定义。

当然也可以从另一个角度理解：线性相关可以推出存在至少一个向量可由其余向量表出，那么其逆否命题就是 D 选项。

这里补充另一个结论：

 线性无关  表示唯一。

这个结论在之后的真题中考察过。

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设 ，其中  具有二阶连续导数，求 .

解：简单计算题。

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设函数  满足微分方程 ，且其图形在点  处的切线与曲线  在该点的切线重合，求函数 .

解：首先解微分方程，然后通过曲线过点  和切线斜率得到两个等式，从而解出常数 。

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设位于点  的质点  对质点  的引力大小为 （ 为常数， 为质点  与质点  之间的距离），质点  沿曲线  从点  运动到点 ，求此运动过程中质点  对质点  的引力所做的功。

解：物理应用，首先列出功的表达式，是一个第二类曲线积分，容易验证其与路径无关。当然这本来就是引力的性质，因为引力属于保守力。故任选路径进行计算，我这里选择路径  进行积分。过程如下：

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已知 ，其中

求  及 .

解：化简得  与  相似，因此 ，结合  可知 ，因此只需要求出  即可。问题转换为矩阵求逆。

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已知矩阵

相似.

(1)求 ;

(2)求一个满足  的可逆矩阵 .

解：相似矩阵具有相同的特征多项式，因此有相同的特征值（计重数），则题目给出的两个矩阵的行列式和迹分别相等，从而解出 。

对于第二问，考察相似对角化，根据矩阵  可以得出矩阵  的特征值，分别计算特征向量按列拼起来就是我们要求的矩阵 。 

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设函数  在区间  上连续，且在  内有 。证明：在  内存在唯一的 ，使曲线  与两直线  所围成的平面图形的面积  是曲线  与两直线  所围成平面图形面积  的  倍。

解：首先根据面积关系构造辅助函数，然后分别说明存在性和唯一性即可。存在性通过零点定理即可说明；而唯一性考虑对辅助函数求导，分析单调性即可。

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设三次独立重复试验中，事件  出现的概率相等，若已知  至少出现一次的概率为 ，则事件  在一次试验中出现的概率为 ?

解：二项分布，正难则反。 

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在区间  中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 ？

解：二维几何概型，画图求面积即可。

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设随机变量  服从均值为 ，均方差为  的正态分布，已知 ，则  落在区间  内的概率为 ？

解：注意“均方差”就是”标准差“，化为标准正态分布即可，简单题。 

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设随机变量  的概率密度函数为 ，求随机变量  的概率密度函数 .

解：由于题目最后要求的是概率密度函数，所以中间过程保留变限积分即可，最后再求导。千万不要直接把结果求出来再求导。 

以上就是对于1988年数一真题的全部解答，总体来看难度比较低，适合用来检验自己基础知识掌握的怎么样。计算量比1987年数一略大一些。

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