一. (满分 14 分) 盒中有 6 个新乒乓球, 每次比赛时取出 2 个, 用后放回, 求第 3 次比赛时取到的 2 个球都是新球的概率．
【解析】 由初始 6 个均为新球, 第一次取球必为 2 个新球, 放回后变为旧球, 此时新球剩 4 个, 旧球 2 个. 第二次取球时, 从 4 新 2 旧中任取 2 个, 取到的新球数的分布为
记为第二次比赛后剩余新球数, 则第三次取到两个新球的概率为
故所求概率为.
二. (满分 14 分) 设随机变量服从广义 Cantor 分布， 即
其中常数,独立同分布于参数为的两点分布．求的数学期望和方差．
【解析】 由, 知,.又系数, 由独立性和几何级数求和公式,
三. (满分 24 分) 设二维随机变量的联合密度函数为
(1) 判断和是否独立并给出理由；
(2) 求的密度函数；
(3) 求的特征函数．
【解析】 (1) 由
而, 故与不独立．
(2) 对, 令, 则由卷积公式并作变量代换,
其中第二部分被积函数为的奇函数, 区间对称, 故积分为．当时．
(3) 计算
且, 其中第二项积分为, 因其被积函数实部关于交换反对称且积分区域对称．
四. (满分 14 分) 设是两两不相关的随机变量, 已知
求和的相关系数．
【解析】 由且知, 又两两不相关, 故
五. (满分 20 分) 设总体的分布函数为
其中为未知参数．为来自总体的简单随机样本．
(1) 当时，求未知参数 $a（0<a<1)$ 的矩估计="" $\hat{a}$；<="" p="">
(2) 当时, 求未知参数的最大似然估计；
(3) 判断第(2)问中的是否是相合估计, 并说明理由．
【解析】 (1) 由得 () 且, 故为离散型,,．由矩估计法,
(2) 由得 (), 密度函数为
似然函数, 对数似然函数对求导并令为零：
(3) 令, 则
即,．由辛钦大数定律,
故是相合估计．
六. (满分 14 分) 设为来自均匀分布的简单随机样本,为来自均匀分布的简单随机样本,皆未知, 且两样本独立．
(1) 令, 求的密度函数和分布函数；
(2) 求的一个置信水平为的等尾置信区间, 其中常数满足．
【解析】 (1) 由,且相互独立,
且与独立．, 由独立性和联合密度, 对,
当时, 积分区域为, 得
当时, 区域分为时, 及时, 积分得
故分布函数与密度函数为
(2) 枢轴量 的分布与参数无关, 且 ．取 的下侧分位数 和上侧分位数 , 满足
由 知 且 , 因此 , ．利用分布函数解得
代入不等式得
于是 的置信水平为 的等尾置信区间为
