今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是1989年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
已知 ，则 ？
导数定义。
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设 是连续函数，且 ，则 ？
积分方程，套路题，将常数 令作常数 ，然后再对上式整体在区间 上积分构造出 从而将其解出，最后带回即可。二重积分里面也有类似的题目。
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设平面曲线 为下半圆 ，则曲线积分 ?
曲线积分，可以直接代入曲线方程。
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向量场 在点 处的散度 ?
直接套公式。
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设矩阵 ，则逆矩阵 ？
分块求解即可。
如果只会用定义和初等变换求解逆矩阵，可以看看我之前的这篇文章，详细介绍了所有和逆矩阵有关的方法，非常全面：
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当 时，曲线 ?
(A) 有且仅有水平渐近线
(B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线
(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线
分别判断 和 时函数的极限即可。选 A。
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已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ，则点 的坐标为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
求出切平面再任一点的法向量表达式，根据两个法向量平行解点即可。
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设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性微分方程 的特解， 为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
对于非齐次线性微分方程的解的组合，根据系数和即可判断组合得到的新解是齐次方程的解还是非齐次方程的解，结论如下：
本题用这种方法判断直接可以得到正确选项是 D。
本质就是通过非齐次解进行齐次解的构造，选择 和 ，然后再任意加上一个特解，这里选择 。
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设函数 ，其中，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
奇延拓，运用奇函数性质转化到已知区间求值即可。
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设 为 阶矩阵，且 ，则 中 ?
(A) 必有一列元素全为
(B) 必有两列元素对应成比例
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合
定义题，没啥说的，选 C。
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设 ，其中 二阶可导， 具有二阶连续偏导数，求 .
不难发现先对 求导计算量会小一些，剩下的就是纯计算。 多想少算，不要拿到题目想都不想直接开始算，计算量越大出错率越高！
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设曲线积分 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 ，计算 的值。
因为与路径无关，并且我们可以选择一条合适的路径避开求 的函数值，因此没必要把这个函数求出来。
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计算三重积分 ，其中 是由 与 所围成的区域。
画出草图，先用对称性适当化简，剩余积分显然用球坐标系。
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将函数 展开成 的幂级数.
如果熟悉反三角函数相关运算公式的话，一眼就可以看出来 和反正切函数之差一个 ，不熟悉也没关系，可以先求导再积分，从而达到化简 的效果。
然后直接套用 的 级数即可。
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设 ，其中 为连续函数，求 .
求导发现是一个微分方程题目，求出通解后代入 0 处的函数值和导函数值求出常数即可。
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证明：方程 在区间 内有且仅有两个不同的实根.
运用三角恒等变换求出题目中的积分值，为 ，剩下的就是纯高中题。
事实上，本题就算不把这个积分算出来也可以做，毕竟后续我们只用到了这个积分值 这个性质。
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问 为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式.
将增广矩阵化为行阶梯型，判断增广矩阵和系数矩阵的秩关系即可。
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设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值，证明：
(1) 为 的特征值；
(2) 为 的伴随矩阵 的特征值.
根据定义进行适当变形即可。
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设半径为 的球面 的球心在定球面 上，问当 取何值时，球面 位于定球面内部的那部分面积最大？
球冠表面积的直接运用。也可以记忆一下球缺的体积公式，这个高中经常用，说不定啥时候就用上了。
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已知随机事件 的概率 ，随机事件 的概率 ，以及条件概率 ，则 ?
加法公式。
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甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为 和 ，已知目标被击中，则它是甲击中的概率为 ？
条件概率公式。
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若随机变量 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为 ?
均匀分布，根据定义做。
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设随机变量 与 独立，且 服从均值为 、标准差为 的正态分布，而 服从标准正态分布，试求随机变量 的概率密度函数.
这是大题？
以上就是对于1989年数一真题的全部解答，总体来看难度不大，适合用来检验自己基础知识掌握的怎么样。如第11题、第12题，都可以多想少算，如果拿到题目直接就开始算容易选到计算量较大的方法。其次就是第19题，如果知道结论或者做过有印象的话还是很快可以解决的，如果要推导也建议用球坐标系推导，不要选择曲面积分。
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