说明：1990年全国实行统一高考卷，四川当年无自主命题，使用全国统考数学（分理工农医类、文史类两套，满分120分），下面完整放出两套原版试卷+标准答案。
一、1990年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类数学）
一、选择题（15小题，每小题3分，共45分）
1. 方程2^{\log_3 x}=\dfrac{1}{4}的解是（）
(A)x=\dfrac{1}{9} (B)x=\sqrt{3} (C)x=\sqrt[3]{3} (D)x=9
2. 把复数1+\mathrm{i}对应的向量按顺时针方向旋转\dfrac{2\pi}{3}，所得向量对应复数（）
(A)\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
(B)\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
(C)\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
(D)\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
3. 轴截面为正方形的圆柱侧面积为S，圆柱体积为（）
(A)\dfrac{S}{2}\sqrt{S} (B)\dfrac{S}{2}\sqrt{\dfrac{S}{\pi}} (C)\dfrac{S}{4}\sqrt{S} (D)\dfrac{S}{4}\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}
4. 方程\sin2x=\sin x在(0,2\pi)内解的个数（）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5. 函数y=2\sin(\omega x+\varphi)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)图像过\left(\dfrac{11\pi}{12},0\right)，则（）
(A)\omega=\dfrac{10}{11},\varphi=\dfrac{\pi}{6} (B)\omega=\dfrac{10}{11},\varphi=-\dfrac{\pi}{6}
(C)\omega=2,\varphi=\dfrac{\pi}{6} (D)\omega=2,\varphi=-\dfrac{\pi}{6}
6. 双曲线\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{9}=1准线方程为（）
(A)y=\pm\dfrac{16}{5} (B)x=\pm\dfrac{16}{5} (C)y=\pm\dfrac{9}{5} (D)x=\pm\dfrac{9}{5}
7. 如果直线y=ax+2与y=3x-b关于y=x对称，则（）
(A)a=\dfrac{1}{3},b=6 (B)a=\dfrac{1}{3},b=-6 (C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6
8. 方程\dfrac{x^2}{\sin\theta-2}+\dfrac{y^2}{\cos\theta+1}=1表示何种曲线（）
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线一支 (D)抛物线
9. 全集I=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}，M=\left\{(x,y)\mid \dfrac{y-3}{x-2}=1\right\}，N=\{(x,y)|y\neq x+1\}，则\overline{M}\cap\overline{N}=（）
(A)\varnothing (B)\{(2,3)\} (C)(2,3) (D)\{(x,y)|y=x+1\}
10. 实数x,y满足(x-2)^2+y^2=3，则\dfrac{y}{x}最大值（）
(A)\dfrac{1}{2} (B)\dfrac{\sqrt{3}}{3} (C)\dfrac{\sqrt{3}}{2} (D)\sqrt{3}
11. 正三棱锥S-ABC侧棱与底面边长相等，E,F为SC,AB中点，异面直线EF与SA夹角（）
(A)90^\circ (B)60^\circ (C)45^\circ (D)30^\circ
12. h>0，命题甲：|a-b|<2h；命题乙：|a-1|<h且|b-1|<h，则（）
(A)甲是乙充分非必要 (B)甲是乙必要非充分
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要
13. f(x)=x^5+ax^3+bx-8，f(-2)=10，则f(2)=（）
(A)-26 (B)-18 (C)-10 (D)10
14. A,B,C,D,E五人并排，A,B相邻且B在A右侧，排法数（）
(A)60 (B)48 (C)36 (D)24
15. 以一个正方体顶点为顶点的四面体共（）
(A)52个 (B)58个 (C)64个 (D)70个
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
16. 双曲线\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{9}=1的准线方程________。
17. (x-1)-(x-1)^2+(x-1)^3-(x-1)^4+(x-1)^5展开式x^2的系数________。
18. \left(x+\dfrac{1}{x}-2\right)^n展开式常数项-20，自然数n=________。
19. 三棱柱ABC-A_1B_1C_1，E,F为AB,AC中点，平面EB_1C_1F分棱柱体积V_1,V_2，V_1:V_2=________。
20. 函数y=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}反函数定义域为________。
三、解答题（6小题，共60分）
21.（8分）四个数，前三个等差，后三个等比；第一+第四=16，第二+第三=12，求四个数。
22.（8分）已知\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac{1}{4}，\cos\alpha+\cos\beta=\dfrac{1}{3}，求\tan(\alpha+\beta)。
23.（10分）三棱锥S-ABC，SA\perp底面ABC，AB\perp BC；DE垂直平分SC，交AC,SC于D,E；SA=AB，SB=BC。求二面角B-DE-C度数。
24.（10分）a>0,a\neq1，解不等式\log_a(4+3x-x^2)-\log_a(2x-1)>\log_a2。
25.（12分）设a\geq0，解方程z^2-2|z|=a（z复数），并讨论a取何值时方程恰有3个不同复数解。
26.（12分）椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，过右焦点F斜率k(k\neq0)直线交椭圆A,B，A,B右准线射影M,N。
(1)若|AF|=2|BF|，求证k^2>3；
(2)若弦AB中点P，求证FP\perp MN。
理工农医类答案
一、选择题
1.A 2.B 3.D 4.C 5.C
6.A 7.A 8.C 9.B 10.D
11.C 12.B 13.A 14.D 15.B
二、填空题
16.y=\pm\dfrac{16}{5}
17.-20
18.3
19.7:5
20.(-1,1)
三、简答关键结果
21. \boldsymbol{0,4,8,15} 或 \boldsymbol{15,9,3,1}
22.\tan(\alpha+\beta)=-\dfrac{24}{7}
23.二面角为\boldsymbol{45^\circ}
24.a>1时解集\left(\dfrac{1}{2},2\right)；0<a<1时\left(2,\dfrac{7}{2}\right)
22. a=0：z=0,\pm2（3解）；a>0：实根\pm(1+\sqrt{1+a})，纯虚根\pm\mathrm{i}(\sqrt{1+a}-1)；仅a=0时3个解。
二、1990年全国高考 文史类数学（四川同卷）
一、选择题（15题×3=45分）
1. 2^{\log_3 x}=\dfrac14解（A）x=\dfrac19
2.\cos^275^\circ+\cos^215^\circ+\cos75^\circ\cos15^\circ=（C）\dfrac54
3.轴截面正方形圆柱侧面积S，体积（D）\dfrac{S}{4}\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}
4.\sin2x=\sin x在(0,2\pi)解数（C）3
5.y=2\sin(\omega x+\varphi)图像，\omega=2,\varphi=\dfrac{\pi}{6}（C）
6.双曲线\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{9}准线y=\pm\dfrac{16}{5}（A）
7.甲：0<x<5；乙：|x-2|<3，甲是乙充分不必要（A）
8.直线y=ax+2与y=3x-b对称，a=\dfrac13,b=6（A）
9.\dfrac{x^2}{\sin\theta-2}+\dfrac{y^2}{\cos\theta+1}=1双曲线一支（C）
10.(x-2)^2+y^2=3，\dfrac{y}{x}最大值\sqrt{3}（D）
11.正三棱锥异面直线夹角45^\circ（C）
12.A,B相邻5人排列24种（D）
13.f(x)=x^5+ax^3+bx-8,f(-2)=10,f(2)=-26（A）
14.|a-b|<2h是|a-1|<h,|b-1|<h必要非充分（B）
15.正方体四面体58个（B）
二、填空题（5×3=15）
16.y=\pm\dfrac{16}{5}
17.-20
18.3
19.7:5
20.(-1,1)
三、解答题（60分）
21.同理科四数题，答案0,4,8,15或15,9,3,1（8分）
22.三角求值同理科（8分）
23.三棱锥二面角45^\circ（10分）
24.a>0,a\neq1解对数不等式（10分，结论同理科）
25.复数方程简化版：只求实根，z为实数，解方程x^2-2|x|=a（12分）
26.椭圆大题简化，只证第一问|AF|=2|BF|\Rightarrow k^2>3（12分）
文史类选择题答案
1.A 2.C 3.D 4.C 5.C
6.A 7.A 8.A 9.C 10.D
11.C 12.D 13.A 14.B 15.B
补充背景
1990年全国数学卷当年难度公认偏高，考生平均分普遍偏低，四川考生使用这套全国统一卷，无单独自主命题版本；文理卷选择、填空完全一致，仅最后两道解答题文科降低难度，去掉纯虚数、第二问几何证明。
