从今天开始，咱们正式开启 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是1987年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
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与两直线
都平行，且过原点的平面方程为？
解：通过两个直线的方向向量的即可得到待求平面的法向量，再结合屏幕过原点即可求解。
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当 ? 时，函数 取得极小值。
解：高中求导题。
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由曲线 与两直线 及 所围成的平面图形的面积为?
解：首先联立求解交点，画出草图，不难发现沿直线 分为左右两个部分求面积比较容易，左侧直接积分，右侧是一个三角形。
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设 为取正向的圆 ，则曲线积分 的值为？
解： 公式模板题，没啥说的。
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已知维线性空间的一组基为 ，则向量 在上述基底下的坐标为?
解：题意实际上就是用三个已知向量线性表示向量 ，列出线性方程组求解即可。
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求正常数 与 使得 成立。
解：首先根据极限存在分析极限类型，从而得到 ，再根据极限为 结合洛必达即可求出 的值，基础题。
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设函数 连续可微， , 求
解：常规计算题。
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设矩阵 与 满足 ，其中 , 求矩阵 .
解：题目不难，但是可以有多种求解思路。下面提供三种方法，其中第三种方法——凑因子法，可以参考往期文章，我列出了求解逆矩阵的所有方法，文章附在下面。
法一：单独求逆后再相乘。
法二：对矩阵方程进行初等行变换。
法三：凑因子法，也只需要求一个矩阵的逆即可。
逆矩阵方法大全可以参考下面这篇文章：
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求微分方程 的通解，其中常数
解：基础题，先求齐次通解，再求非齐次特解。
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设常数 , 则级数 ？
(A) 发散
(B) 绝对收敛
(C) 条件收敛
(D) 收敛或发散与 的取值有关
解：先加绝对值判断是否绝对收敛，容易发现可以拆成一个收敛级数 + 一个发散级数，因此是发散的，即不绝对收敛。
接着判断原级数的敛散性，由于是交错级数，因此考虑使用莱布尼兹判别法，得出收敛。
综合两方面，原级数条件收敛。
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设 其中 为连续函数， , 则 的值？
(A) 依赖于
(B) 依赖于
(C) 依赖于 , 不依赖于
(D) 依赖于 , 不依赖于
解：换元即可。
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设 ，则在点 处？
(A) 可导且
(B) 取得极大值
(C) 取得极小值
(D) 的导数不存在
解：考虑极限的保号性，结合极大值的定义即可知道 B 选项是正确的。
对于 A、D 两个选项，说的是同一个事情，考虑导数定义即可，注意凑出题干的条件。
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设 为 阶矩阵，且 ， 是 的伴随矩阵, 则 ？
(A)
(B)
(C)
(D)
解：结合逆矩阵的定义和行列式性质即可：
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求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
解：幂级数基础题，收敛域使用比值判别法和根值判别法都可以，我这里使用的是后者；对于和函数的求解，由于可以凑出 级数形式，因此直接凑就行了，如下两个公式需要熟练掌握：
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计算曲面积分 ，其中 是由曲线 绕 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 轴正方向的夹角大于 .
解：首先先根据解析几何知识求出旋转抛物面方程。然后补面后运用 公式即可。对于使用 公式得到的这个三重积分，考虑使用截面法运算量是最小的。
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设函数 在闭区间 上可微，对于 上的每个 ，函数的值都在区间 内，且 ，证明：在 内有且仅有一个 ，使得 .
解：早年的中值定理证明题还是很简单的，考虑从存在性和唯一性两个方面进行说明即可。
构造辅助函数结合零点定理即可说明存在性；通过反证法结合 定理即可说明唯一性。
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问 为何值时，线性方程组
有唯一解？无解？有无穷多个解？并求出有无穷多个解时的通解.
解：回顾线性方程组解的存在条件和增广矩阵秩的关系：
将增广矩阵通过初等行变换化简为阶梯型矩阵，分析 和 ) 的关系即可，属于基础题，需要熟练掌握。
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假设在一次试验中，事件 发生的概率为 ，现进行 次独立试验，则 至少发生一次的概率为 ？，而事件 至多发生一次的概率为 ？.
解：二项分布，正难则反。
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三个箱子，第一个箱子中有 个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球 个白球，第三个箱子中有 个黑球 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 个球，这个球为白球的概率等于 ？。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 ？.
解：全概率公式， 公式。
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已知连续型随机变量 的概率密度为 ，则 的数学期望为 ？， 的方差为 ？.
解：对于这种形式和正态分布很像的概率密度函数，期望和方差的求解不建议通过定义 来算，因为计算量比较大，而且最后的化简大概率要结合 函数。
建议直接凑正态分布概率密度函数的形式，做法如下：
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设随机变量 相互独立，其概率密度函数分别为
求随机变量 的概率密度函数 。
解：概率论期末难度题，考察二维连续型随机变量的函数分布，常用的方法有两种：分布函数法 与（卷积）公式法。
首先先来看分布函数法，此法是通法，只不过对于个别题目计算量可能会很大。画出草图分类讨论即可，过程如下：
下面介绍公式法：
我们设 的概率密度函数为 ，如果根据 能反解出 ，则：
如果根据 能反解出 ，则：
特别地，如果 关于 的表达式是和、差、积，商的形式，分别又能得到更简单的形式，其中和形式推出来的结论被称为“卷积公式”，这里不再展开，掌握上面这两个一般结论即可，结论形式很有规律，看一遍就能记住了，不用刻意背诵。
公式的证明使用二重积分的 换元即可，感兴趣的读者可以自己尝试。
使用卷积公式求解本题过程如下，本题用这种方法的好处在于可以避免求出分布函数后又求导，极大减少计算量。
以上就是对于1987年数一真题的全部解答，总体来看难度比较低，适合用来检验自己基础知识掌握的怎么样。绝大多数题目单考点、单步骤即可解出，几乎没有多章节嵌套、条件隐藏、反套路挖坑；计算量整体比较小，对概念深挖力度弱。
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