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1 一、填空题
（1）
设 ，则 ________。
答案：
解析： 由 ，得 。代入 ，得 ，故 。
（2）
曲线 的斜渐近线方程为 ________。
答案：
解析： 设斜渐近线为 。有 ，，故斜渐近线为 。
（3）
________。
答案：
解析： 令 ，则
。
再令 ，得 。
（4）
微分方程 满足 的解为 ________。
答案：
解析： 原方程化为 ，积分因子为 ，故 。积分得 。由 ，得 ，故 。
（5）
当 时， 与 是等价无穷小，则 ________。
答案：
解析： 有理化得
。
当 时，分母中根式和趋于 ，且 ，，故 。由等价无穷小得 。
（6）
设 均为 3 维列向量，记矩阵 ，
。
如果 ，那么 ________。
答案：
解析： 因为
，
所以 。
2 二、选择题
（7）
设函数 ，则 在 内（ ）
（A）处处可导.
（B）恰有一个不可导点.
（C）恰有两个不可导点.
（D）至少有三个不可导点.
答案： C
解析： 由极限可得
。
该函数仅在 处不可导，故选 C。
（8）
设 是连续函数 的一个原函数， 表示充分必要条件，则必有（ ）
（A） 是偶函数 是奇函数.
（B） 是奇函数 是偶函数.
（C） 是周期函数 是周期函数.
（D） 是单调函数 是单调函数.
答案： A
解析： 若 为偶函数，则由 两边求导得 ，即 ，故 为奇函数。反之，若 为奇函数，则 为偶函数。
（9）
设函数 由参数方程 确定，则曲线 在 处的法线与 轴交点的横坐标是（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： A
解析： 由 得 ，对应点为 。又 ，故切线斜率为 ，法线斜率为 。法线方程为 ，令 ，得 。
（10）
设区域 ， 为 上的正值连续函数， 为常数，则
（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： D
解析： 设原积分为 。区域 关于 对称，交换 后与原式相加，得
。
因此 。
（11）
设函数
，
其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： B
解析： 直接求二阶偏导可得
，
。
故二者相等，选 B。
（12）
设函数 ，则（ ）
（A） 都是 的第一类间断点.
（B） 都是 的第二类间断点.
（C） 是 的第一类间断点， 是 的第二类间断点.
（D） 是 的第二类间断点， 是 的第一类间断点.
答案： D
解析： 当 时，，故 是第二类间断点；当 时，，故 是第一类间断点。
（13）
设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充分必要条件是（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： B
解析： 因为
，
且 线性无关，所以 与 线性无关当且仅当 。
（14）
设 为 阶可逆矩阵，交换 的第 1 行与第 2 行得矩阵 ， 分别为 的伴随矩阵，则（ ）
（A）交换 的第 1 列与第 2 列得 .
（B）交换 的第 1 行与第 2 行得 .
（C）交换 的第 1 列与第 2 列得 .
（D）交换 的第 1 行与第 2 行得 .
答案： C
解析： 设 为交换第 1 行与第 2 行的初等矩阵，则 。由 ，且 ，，得 。故交换 的第 1 列与第 2 列得 。
3 三、解答题
（15）
设函数 连续，且 ，求极限
。
解析： 对分母作变量代换 ，得 。又
。
由连续性，，，故原极限为 。
（16）
如图， 和 分别是 和 的图象，过点 的曲线 是一单调增函数的图象。
过 上任一点 分别作垂直于 轴和 轴的直线 和 。记 与 所围图形的面积为 ； 与 所围图形的面积为 。如果总有 ，求曲线 的方程 。
解析： 由题意，
。
因 在 上，故 ，于是 。
又 。由 两边对 求导，得 。故
。
（17）
曲线 的方程为 ，点 是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线 在点 与 处的切线，其交点为 。设函数 具有三阶连续导数，计算定积分
。
解析： 由切线信息得 ，又拐点处 。
分部积分两次：
。
代入数据得
。
（18）
用变量代换 化简微分方程 ，并求其满足 的特解。
解析： 令 ，则 ，代入原方程化为
。
其通解为 ，即 。由 得 ；由 得 。故特解为
。
（19）
已知函数 在 上连续，在 内可导，且 。证明：
（Ⅰ）存在 ，使得 ；
（Ⅱ）存在两个不同的点 ，使得 。
解析：
（Ⅰ）令 ，则 ，。由介值定理，存在 ，使 ，即 。
（Ⅱ）在 与 上分别用拉格朗日中值定理，存在 ，，使
。
故 。
（20）
已知函数 的全微分 ，并且 。求 在椭圆域 上的最大值和最小值。
解析： 由 ，得 。由 得 ，故 。
区域内部驻点为 ，函数值为 。边界上 ，即 ，故
。
当 时取最小值 ；当 时取最大值 。
（21）
计算二重积分
，
其中 。
解析： 记 为第一象限单位圆的四分之一。则
。
其中
，
且 。
故原积分为 。
（22）
确定常数 ，使向量组
可由向量组
线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示。
解析： 记 。由题意， 不能由 线性表示，因此 ，即
。
故 或 。当 时， 不能由 线性表示，不合题意；当 时满足题意。故 。
（23）
已知 3 阶矩阵 的第一行是 ，其中 不全为零，矩阵
，
其中 为常数，且 ，求线性方程组 的通解。
解析： 由 可知， 的每一列都是方程组 的解。
情形一：
此时 ，故 至少有两个线性无关解。又 第一行不全为零，所以 。基础解系可取为
。
故通解为
，
其中 为任意常数。
情形二：
此时 。
若 ，则基础解系可取为 ，通解为
，
其中 为任意常数。
若 ，则方程组与 同解。当 时，基础解系可取为
。
故通解为
，
其中 为任意常数。