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1 一、选择题
（1）
设 ，求 的零点个数（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
答案： D
解析： 由 ，根据罗尔定理， 在 与 内至少各有一个零点。又 ，且 为三次多项式，故共有 3 个零点。
（2）
如图，曲线段方程为 ，函数在区间 上有连续导数，则定积分 等于（ ）
（A）曲边梯形 ABOD 面积.
（B）梯形 ABOD 面积.
（C）曲边三角形 ACD 面积.
（D）三角形 ACD 面积.
答案： C
解析： 由分部积分，
。
其中 为矩形 ABOC 面积， 为曲边梯形 ABOD 面积，二者之差即为曲边三角形 ACD 面积。
（3）
在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： D
解析： 由通解可知特征根为 ，故特征方程为
，
即 ，所以微分方程为 。
（4）
判断函数 间断点的情况（ ）
（A）有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点.
（B）有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点.
（C）有两个无穷间断点.
（D）有两个跳跃间断点.
答案： A
解析： 当 时，，故 为可去间断点。
当 时，；当 时，。左右极限存在但不相等，故 为跳跃间断点。
（5）
设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
（A）若 收敛，则 收敛.
（B）若 单调，则 收敛.
（C）若 收敛，则 收敛.
（D）若 单调，则 收敛.
答案： B
解析： 若 单调，且 单调有界，则 也单调有界，因此必收敛。
（6）
设函数 连续，若 ，其中区域 为图中阴影部分，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： A
解析： 由图示区域，在极坐标下 。于是
。
故 。
（7）
设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵。若 ，则（ ）
（A） 不可逆， 不可逆.
（B） 不可逆， 可逆.
（C） 可逆， 可逆.
（D） 可逆， 不可逆.
答案： C
解析： 因为
，
，
所以 与 均可逆。
（8）
设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）
（A）.
（B）.
（C）.
（D）.
答案： D
解析： 记 。有
。
故 与 有相同特征值。二者均为实对称矩阵，因此相似；实对称矩阵相似必合同，故选 D。
2 二、填空题
（9）
连续，，则 ________。
答案：
解析： 当 时，，。故
，
所以 。
（10）
微分方程 的通解是 ________。
答案：
解析： 原方程化为 。其通解为
。
（11）
曲线 在点 处的切线方程为 ________。
答案：
解析： 设 ，则
。
代入 得 ，故切线方程为 。
（12）
求函数 的拐点 ________。
答案：
解析： 因为
，
所以 时 变号； 时 不存在但不变号。又 ，故拐点为 。
（13）
已知 ，则 ________。
答案：
解析： 取对数得 。对 求偏导：
。
代入 ，此时 ，故
。
（14）
矩阵 的特征值是 ，其中 未知，且 ，则 ________。
答案：
解析： 因为 ，且 为 3 阶矩阵，所以
。
由 ，得 。
3 三、解答题
（15）
求极限
。
解析： 由等价展开，
。
故
。
（16）
设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题 的解。求 。
解析： 由 ，得 。结合 ，得
。
又
，
所以
。
因此
。
（17）
计算
。
解析： 令 ，则 。原积分化为
。
计算得
。
（18）
计算
，
其中 。
解析： 曲线 将区域分为 与 两部分。于是
。
化简得
。
（19）
设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 。对于任意的 ，直线 ，曲线 以及 轴所围成曲边梯形绕 轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式。
解析： 旋转体体积与侧面积分别为
。
由 ，两边对 求导得
。
因 且 单调增加，故 ，于是
。
分离变量并代入 ，得
。
（20）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，使得 ；
（Ⅱ）若函数 具有二阶导数，且满足 ，则至少存在一点 ，使得 。
解析：
（Ⅰ）设 分别为 在 上的最小值和最大值，则
。
由定积分性质，
。
由连续函数介值定理，存在 ，使
。
即
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，存在 ，使
。
又 且 ，分别在 与 上用拉格朗日中值定理，可得 ，。
再对 在 上用拉格朗日中值定理，得存在 ，使
。
（21）
求函数 在约束条件 和 下的最大和最小值。
解析： 由 与 ，得
。
作拉格朗日函数
。
解方程组得驻点
。
代入 ，得
。
故最小值为 ，最大值为 。
（22）
设 元线性方程组 ，其中
，
。
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
解析：
（Ⅰ）记 。由三对角行列式递推关系，
。
又 ，由归纳法得
。
故 。
（Ⅱ）方程组有唯一解当且仅当 ，即 。
由克莱姆法则，将 的第 1 列换为 得 ，故
。
（Ⅲ）方程组有无穷多解时，，故 。
此时方程组化为
。
即 ， 为自由变量。
故通解为
，
其中 为任意常数。
（23）
设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 的特征向量，向量 满足 。
（Ⅰ）证明 线性无关；
（Ⅱ）令 ，求 。
解析：
（Ⅰ）设
。
两边左乘 ，得
。
两式相减得
。
由于 属于不同特征值，故线性无关，所以 。代回原式得 。因此 线性无关。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 可逆，且
。
因此
。
故
。