“学生身边的数学”智能体
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2026年全国统一高考数学试卷新高考1卷真题解析——题15至题17。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第15题（13分）：直三棱柱
在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC。D和E分别为AB和AC₁的中点。(1)证明DE∥平面BCC₁B₁。(2)设CC₁=2，DE与平面ACC₁A₁所成角45°，求DE到平面BCC₁B₁的距离。
建系：以C为原点，CA→x轴，CB→y轴，CC₁→z轴。A(a,0,0)，B(0,a,0)，C₁(0,0,h)。D(a/2,a/2,0)，E(a/2,0,h/2)。DE=(0,-a/2,h/2)，x分量为0→DE∥平面BCC₁B₁(yOz面)。
(2)h=2时DE=(0,-a/2,1)。与平面ACC₁A₁夹角：sin45°=(a/2)/√(a²/4+1)=√2/2→a=2。距离=D到平面BCC₁B₁的距离=a/2=1。
关键点：建系→方向向量x分量0证平行→sinθ反求a→距离=|x_D|。
第16题（15分）：解三角形+向量
△ABC，AB=3, BC=2√3, cosB=√3/3。(1)求cosA。(2)D在BA延长线，DE∥BC, AE⊥AC, DE=√6，求CE。
(1)余弦定理：AC²=9+12-12=9→AC=3=AB→等腰。cosA=(9+9-12)/18=1/3。
(2)建系A原点，AC为x轴。C(3,0)，B(1,2√2)。D=A+t(A-B)=(-t,-2√2t)。DE∥BC→λ=DE/BC=√6/(2√3)=√2/2。AE⊥AC→E横坐标0→-t+2λ=0→t=√2。E=(0,-6)→CE=3√5。
关键点：余弦求等腰→建系→双参数t和λ由平行/垂直条件定出→距离公式收尾。
第17题（15分）：投篮概率
至多投篮N次，投中1次或N次未中停止。每次中概率p。X为停止时投篮次数。(1)N=4,p=1/3求分布列。(2)(i)k≤N-1时P(X>k)。(ii)k+m≤N-1证P(X>k+m|X>k)=P(X>m)。
(1)q=2/3。X=1→1/3；X=2→2/9；X=3→4/27；X=4→q³=8/27。(2)(i)P(X>k)=q^k。(ii)条件概率=q^{k+m}/q^k=q^m=P(X>m)。几何分布的无记忆性——已投k次未中，剩余分布与从头开始一样。
关键点：停止规则→通项q^{i-1}p→X=N时加q^N→无记忆性使条件概率约分一行证毕。
大题策略总结
第15题建系法全程坐标运算，第16题余弦定理+双参数建系，第17题几何分布无记忆性。大题解答关键是结构清晰——建系写坐标、设参数列方程、分情况讨论概率，每步有明确文字说明。
