中考数学必会几何模型合集系列之模型十四 相似三角形之母子型相似含模型母题(全国通用)

【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键．

2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心，1为半径作圆D，P为OD上的一个动点，连接AP，OP，则🔺AOP面积的最大值是（）

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出处于什么位置时面积最大．

相关知识点：子母型相似，也称为斜A字相似或共边共角模型，是中考几何中常见的相似模型，其基本结构为在三角形中，通过一个公共角和一组对应角相等，形成两个相似三角形，形状如同子三角形嵌套在母三角形内部。

子母型相似的判定条件包括公共角和一组对应角相等。例如，在△ABC中，点D在AB上，∠A为公共角，若∠ACD=∠B，则可判定△ADC∽△ACB（AA相似判定）。由相似三角形对应边成比例，可得比例关系，并通过比例性质推导出关键变形结论，如AC²=AD·AB（即公共边的平方等于共线边的乘积）。

子母型相似在直角三角形中与射影定理有密切联系。在直角三角形中，射影定理的结论本质上是子母型相似的应用。例如，在Rt△ABD中，若AE⊥BD（E为垂足），则△ADE∽△BDA，可得AD²=DE·DB。

在解题时，识别子母型相似的关键在于发现公共边、公共角关系，以及边的比例关系。例如，若已知公共角和边的关系CD²=DE·DB，可变形为比例式CD/DE=DB/CD，结合公共角可判定△CDE∽△BDC，从而得到对应角相等。

子母型相似模型在中考数学压轴题中应用广泛，速通压轴题的关键在于快速识别并应用该模型，结合相似比和边比例性质，高效解决证明与计算问题。此外，子母型相似模型还可以与其他知识内容综合考查，如圆的性质、三角函数、抛物线等。

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