1 一、试题
1. 选择题
（1）
当 时，下列无穷小量中阶最高的是
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
（2）
函数 的第二类间断点的个数为
- (A) 个
- (B) 个
- (C) 个
- (D) 个
（3）
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
（4）
已知函数 ，当 时，
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
（5）
关于函数
给出下列结论：
其中正确的个数为
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
（6）
设函数 在区间 上可导，且 ，则
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
（7）
设 4 阶矩阵 不可逆， 的代数余子式 。记 为矩阵 的列向量， 为 的伴随矩阵，则方程组
的通解为
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
其中 为任意常数。
（8）
设 为 3 阶矩阵， 为 的属于特征值 的线性无关特征向量， 为 的属于特征值 的特征向量。则满足
的可逆矩阵 可为
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
2. 填空题
（9）
设
则
（10）
（11）
设 ，则
（12）
斜边长为 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐。记重力加速度为 ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为
（13）
设 满足 ，且 ，，则
（14）
行列式
3. 解答题
（15）
求曲线 的斜渐近线方程。
（16）
已知函数 连续且 ，，求 ，并证明 在 处连续。
（17）
求函数 的极值。
（18）
设函数 的定义域为 且满足
求 ，并求曲线 ，， 及 轴所围图形绕 轴旋转所成旋转体的体积。
（19）
设平面区域 由直线 ，， 与 轴围成。计算
（20）
设函数 。
- 证明：存在 ，使得 ；
- 证明：存在 ，使得 。
（21）
设函数 可导，且 ，曲线 经过坐标原点 。 为其上任意一点，点 处的切线与 轴交于点 ，又 垂直 轴于点 。已知由曲线 、直线 以及 轴所围图形的面积与 的面积之比恒为 ，求满足上述条件的曲线方程。
（22）
设二次型
经过可逆线性变换
化为二次型
- 求 的值；
- 求可逆矩阵 。
（23）
设 为 2 阶矩阵，，其中 是非零向量且不是 的特征向量。
- 证明 为可逆矩阵；
- 若 ，求 ，并判断 是否相似于对角矩阵。
2 二、参考答案速查
1. 选择题
2. 填空题
3. 解答题结论
3 三、详细解析
1. 选择题
（1）
知识点：
- 等价无穷小与无穷小阶的比较；
- 变上限积分的等价估计；
- 基本等价式：，，，。
答案： D
解析：
当 时，分别估计四个无穷小量的主阶。
对于 A：
因此
对于 B：
因此
对于 C：
所以
对于 D：
于是
四个选项对应的阶分别为 。当 时，幂次越大，无穷小阶越高，故阶最高的是 D。
（2）
知识点：
- 函数间断点的判定；
- 可去间断点与第二类间断点；
- 等价无穷小 ，；
- 指数函数 在 两侧的极限行为。
答案： C
解析：
函数可能的间断点来自分母为零、对数函数无定义或指数函数异常的位置，即
逐一判断：
- 当 时，
而其余因子在 附近有界且分母不为零，因此 为第二类间断点。
- 当 时，
因此
故 为可去间断点。
- 当 时，
在 时趋于 ，在 时趋于 ，左右极限行为不同，且至少一侧不为有限极限，所以 为第二类间断点。
- 当 时，分母中 ，而分子趋于非零有限值，因此极限发散， 为第二类间断点。
所以第二类间断点共有 个，选 C。
（3）
知识点：
- 定积分换元法；
- 反三角函数求导；
- 根式积分中令 的常用换元。
答案： A
解析：
令
则
当 时，；当 时，。因此原积分为
于是
故选 A。
（4）
知识点：
- 麦克劳林展开；
- 幂级数系数与高阶导数的关系；
- 公式：若 ，则 。
答案： A
解析：
由麦克劳林展开式
得
当 时，令 ，即 ，可知 的系数为
因此
故选 A。
（5）
知识点：
- 多元函数偏导数的定义；
- 二阶混合偏导数存在性的判定；
- 二元函数极限与累次极限；
- 分段函数在坐标轴附近的极限分析。
答案： B
解析：
逐项判断。
- 计算 ：
因为 ，且当 时 ，所以
故结论 1 正确。
- 判断二阶混合偏导数。
先看 在 时是否存在：
当 时，上式极限不存在，因此在 附近相应的一阶偏导并不存在，所给二阶混合偏导数不存在，更不可能等于 。故结论 2 错误。
- 判断二元极限。
当 时，；当 时，；当 时，。因此
故结论 3 正确。
- 判断累次极限。
对固定的 ，当 时：
- 若 ，则 ；
- 若 ，则 。
所以
再令 ，得
故结论 4 正确。
综上，正确的是 1、3、4，共 个，选 B。
（6）
知识点：
- 构造辅助函数；
- 单调性判定；
- 微分不等式 的处理；
- 指数因子法。
答案： B
解析：
由题设
构造函数
则
所以 在 上严格单调递增。
取 与 ，有
即
由于 ，于是
故选 B。
（7）
知识点：
- 矩阵秩与伴随矩阵的性质；
- 伴随矩阵公式 ；
- 代数余子式与矩阵列向量线性无关；
- 齐次线性方程组通解结构。
答案： C
解析：
因为 不可逆，所以
又由于 的代数余子式 ，说明矩阵 至少存在一个 阶子式不为零，因此
而 是 阶不可逆矩阵，所以
当 阶矩阵 满足 时，
因此齐次方程组
的解空间维数为
又因为
所以 的每一列向量都是方程组 的解。
由 可知，删去第 行第 列所得的 阶子式不为零，即由列 去掉第一行后组成的 阶矩阵行列式不为零。因此
线性无关。它们又都属于 的解空间，且解空间维数为 ，故通解为
故选 C。
（8）
知识点：
- 特征向量与相似对角化；
- 相似变换 中 的列向量含义；
- 不同特征值对应的特征向量线性无关。
答案： D
解析：
若
则 的第 列应分别是属于特征值 的特征向量。
由于 是属于特征值 的线性无关特征向量，所以
仍是属于特征值 的特征向量。
又因为 属于特征值 ，所以
也是属于特征值 的特征向量。
因此 D 中矩阵
的三列分别对应特征值 。同时， 与 线性无关，且它们与属于不同特征值的 也线性无关，故 可逆。
故选 D。
2. 填空题
（9）
知识点：
- 参数方程求导；
- 二阶导数公式：
答案：
解析：
由
得
由
得
因此
继续求二阶导数：
代入 ，得
（10）
知识点：
- 二重积分交换积分次序；
- 平面区域表示；
- 一元积分换元法。
答案：
解析：
原积分区域由
确定。由 得 ，所以交换积分次序后为
于是
计算得
令
则
因此
（11）
知识点：
- 多元复合函数微分法；
- 全微分公式；
- 反正切函数求导。
答案：
解析：
设
则
在点 处，
又
代入 ，得
因此
（12）
知识点：
- 定积分的物理应用；
- 液体静压力计算；
- 三角形相似与截面宽度函数。
答案：
解析：
等腰直角三角形的斜边长为 ，且斜边与水面相齐。该三角形从水面到下端顶点的深度为 。
取距水面深度为 的水平窄条，。由相似三角形可知，该处窄条长度为
深度为 处的压强为
于是微元压力为
所以该平板一侧所受水压力为
计算得
（13）
知识点：
- 二阶常系数齐次线性微分方程；
- 重根情形通解；
- 广义积分计算。
答案：
解析：
微分方程为
其特征方程为
即
所以通解为
由初值条件 ，得
于是
又
由 ，得
因此
所以
（14）
知识点：
- 行列式计算；
- 分块矩阵；
- 形如 的矩阵行列式；
- 矩阵特征值与行列式的关系。
答案：
解析：
记原矩阵为
将其写成分块形式：
对于这种分块矩阵，有
这里取 ，，得
由于
所以
又
所以
因此
3. 解答题
（15）
知识点：
- 斜渐近线的求法；
- 对数化简；
- 泰勒展开：
解析：
原函数为
求 时的斜渐近线。先对指数部分取对数：
由
得
因此
又因为
所以
故曲线的斜渐近线为
（16）
知识点：
- 含参积分函数；
- 变量替换；
- 导数定义；
- 极限与积分的综合应用；
- 函数在一点处连续性的证明。
解析：
因为
且 连续，所以
因此
当 时，令 ，则
对 求导，得
下面求 。由导数定义，
由于 ，所以
故
综上，
下面证明 在 处连续。对 ，
当 时，
且
于是
所以 在 处连续。
（17）
知识点：
- 多元函数驻点；
- Hessian 判别法；
- 二元函数极值判定。
解析：
对
求一阶偏导：
驻点满足
即
代入得
所以
由此得
对应
故驻点为
继续求二阶偏导：
Hessian 判别式为
在 处，
所以 不是极值点。
在 处，
且
因此 是极小值点。
极小值为
（18）
知识点：
- 函数方程求解；
- 变量替换 ；
- 曲线围成图形的旋转体体积；
- 壳层法；
- 三角换元。
解析：
题设为
将 换为 ，得
因为 ，所以
上式两边同乘 ，得
联立 (1)、(2)。设
则
解得
故
下面求旋转体体积。由
解得
所围图形在 方向上的范围为
绕 轴旋转，采用壳层法：
令
则
于是
利用
得
由于
所以正弦项相消，进而
（19）
知识点：
- 二重积分区域分析；
- 极坐标变换；
- 积分区域边界在极坐标中的表示；
- 三角函数积分 。
解析：
区域 由
围成，因此
采用极坐标
由 得
由 得
即
又
故原积分为
先对 积分：
所以
利用公式
得
因此原积分为
（20）
知识点：
- 变上限积分函数；
- 零点存在定理；
- 柯西中值定理；
- 构造辅助函数证明存在性命题。
解析：
（1）
要证存在 ，使
等价于证明存在 ，使
构造辅助函数
由于 连续，故 在 上连续。
计算端点值：
由零点存在定理，存在 ，使
即
（2）
要证存在 ，使
在区间 上，对函数 与 使用柯西中值定理。因为二者在 上连续、在 上可导，且
所以存在 ，使
又
并且
因此
即
（21）
知识点：
- 曲线切线方程；
- 几何面积与定积分；
- 可降阶微分方程；
- 分离变量法；
- 曲线族常数的确定。
解析：
设曲线上任意一点为
因为曲线过原点且 ，所以当 时 。
点 处切线方程为
令 ，得切线与 轴交点 的横坐标：
因此
三角形 的面积为
由曲线 、直线 以及 轴围成的面积为
题设给出
因此
两边对 求导，得
整理得
令
代入微分方程：
由于 ，两边除以 ，得
分离变量：
积分得
所以
即
再次分离变量：
积分得
又曲线经过原点，故 。于是
因为 ，所以
故所求曲线方程为
（22）
知识点：
- 二次型矩阵表示；
- 合同变换与惯性定理；
- 二次型的秩与正惯性指数；
- 配方法构造可逆线性变换。
解析：
（1）求 的值
二次型 的矩阵为
该矩阵的特征值为
二次型
可写为
所以 的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 。
由于可逆线性变换对应二次型的合同变换，二次型的秩与正、负惯性指数保持不变。因此 也必须有秩 ，且正惯性指数为 。
于是 的三个特征值中必须有两个正特征值、一个零特征值。若
则 ，此时特征值为
秩为 ，不符合要求。
故只能有
因此
此时
符合秩为 、正惯性指数为 的要求。
（2）求可逆矩阵
当 时，
配方得
令
则
再令
则
由
得
由
得
由
得
代入 ，得
因此
故可取
该矩阵行列式为
故 可逆。
（23）
知识点：
- 矩阵特征向量的定义；
- 可逆矩阵的判定；
- 相似变换；
- 矩阵多项式关系；
- 二阶矩阵对角化判定。
解析：
（1）证明 可逆
矩阵
以 与 为列向量。
若 不可逆，则 与 线性相关。由于 ，存在常数 ，使
这说明 是 的特征向量，与题设“ 不是 的特征向量”矛盾。
所以 可逆。
（2）求 并判断是否相似于对角矩阵
由
得
于是
又
因此
两边左乘 ，得
其特征多项式为
该矩阵有两个不同特征值
因此它可以相似对角化。又因为 与该矩阵相似，所以 也相似于对角矩阵，且可相似于
