条件 | 图示 | 结论 |
如图，AC与BD相交于点O |
| 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. |
条件 | 图示 | 结论 |
如图1所示，已知四边形ABDC |
| ∠BDC=∠A+∠B+∠C。 【证明】如图，延长BD交 AC 于点E. ∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC 是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. |
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
模型3 中点四边形模型
条件 | 图示 | 结论 |
依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形 |
| （1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形。 （2）对角线垂直的四边形（包括菱形）的中点四边形是矩形。 （3）对角线相等的四边形（包括矩形）的中点四边形是菱形。 （4）对角线垂直且相等的四边形（包括正方形）的中点四边形是正方形。 |
1.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是___________．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形
【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．
【解析】解：（1）如图1，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=1/2BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=1/2BD，
∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，理由：如图2，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
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