中考数学必会几何模型合集系列之模型十 最大张角模型(米勒定理)与正方形十字架模型含模型母题(全国通用)

模型1  最大张角模型（米勒定理）

问题和条件	图示	结论及证明
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？		【结论】当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大. 【证明】连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

相关知识：米勒圆最大张角定理的证明涉及到几何学中的圆外角定理和圆周角定理。

米勒圆最大张角定理的内容是：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大14。以下是证明过程：

1. 设C′是边OM上不同于点C的任意一点，连结C′A、C′B。
2. 因为∠AC′B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC′B小于∠ACB。
3. 故∠ACB最大。

米勒定理在解题中的应用和现在中考的热点阿氏圆一样都为竞赛和高中内容下放为初中压轴。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时费力。

1.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）

【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．

相关知识：正方形十字架模型是初中几何中的经典模型，指在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段具有"垂直则相等，相等则垂直"的性质。

核心结论

• 垂直则相等
  ：若两条线段垂直，则它们长度相等
• 相等则垂直
  ：若两条线段相等，则它们垂直

注意：该模型的前提条件是"对边取点连线"，若不满足此条件则结论不一定成立。

具体应用场景

基本情况

• 过顶点情况
  ：在正方形ABCD中，若AE⊥BF，则可得AE=BF；反之，若AE=BF，也可得AE⊥BF8
• 一般情况
  ：在正方形ABCD中，若MN⊥PQ，则必有MN=PQ

  证明方法

1. 平移法
   ：将PQ、MN平移至特定位置（如AF、DE），证明对应线段相等即可
2. 全等三角形法
   ：通过构造全等三角形证明，如过点P作PE⊥BC，过点N作NF⊥AB交AB于点F，易证△PEQ≌△NFM

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