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（题目来自网络，仅供参考）
(1)【分析】构建以AB为斜边的直角三角形，如果知道∠B对边长，即可计算。
【解】如下图，过A作AE⊥BC于E点，
∵四边形AECD中，∠AEC=∠C=∠D=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=4，
∴sin∠B=AE/AB=4/5.
(2)①【分析】Q点随P点的运动而运动，它的轨迹在以A为圆心，AB为半径的圆上，AC=4√2＞AB，因此该圆与BC和CD有交点，这段弧对应的P点就是BP的取值范围。
【解】如下图，A为圆心、AB为半径作圆交EC于Q_min、交CD于Q_max点，连接AQ_max，作∠BAQ_max的平分线交EC于P_max点，那么P点要在E点到P_max点之间，连接P_maxQ_max，那么
BP_max=P_maxQ_max.
设P_maxC=x，
(7-x)²=x²+1，解得
x=24/7.
BP_max²=(7-24/7)²=4²×50/49，
BP_max=25/7；
P点在E点左边时也不在图形内，因此BP取值范围是
3≤AP≤25/7。
②【分析】为了讨论问题方便，把P和Q的主动和被动关系反过来，Q点是圆A上的动点，P点是∠BAQ的平分线与BC的交点，按题意完成相关线段的连接，请看下面的视频：
考虑建立直角坐标系，确定Q和M点的坐标，
如上图，以A点为原点建立直角坐标系，连接BQ交AP延长线于R，连接AM交QP延长线于T，令BP=a（0<a<3)，
P点坐标(-3+a,-4)，那么AP直线解析式是：
y=[4/(3-a)]x. ①
设BQ直线解析式是：
y=-[(3-a)/4]x + b，把B(-3,-4)代入得
y=-[(3-a)/4]x + (-25+3a)/4. ②
联立①②得R点坐标，计算太繁琐了，显然不行。
考察M的的轨迹，由三个三角形全等的，因此高都一样，这样AM是定值8，DM是一条确定的直线，M点是一个定点，设它的坐标是(a,b)，那么Q点是以M为圆心、5为半径的圆与圆A的右交点。一句话——这是伪动点题（中考新动向）——把人坑惨了。
【解】（作图说明略），设M的坐标是(a,b)，
∵ DM//AB，
∴ 假设 DM的解析式是
y = (4/3)x+n，
把D(4,0)代入得到
y = (4/3)(x - 4)，
∴ b = (4/3)(a - 4). ①
∵ △ABP≌AQP≌MQP，
∴ 它们的高都等于4，
又 AM是2倍高，
∴ AM恒等于8，即M点在以A为圆心半径是8的圆上，
∴ a² + b² = 8²， ②
∴ DM² = (4-a)² + (0 - b)² = (a - 4)² + b²，
把①代入上式得
DM² = 25/16b²，
∴ DM = (5/4)|b|。
Q点是分别以M、A为圆心5为半径的圆的右交点，
设Q点坐标是(c,d)，联立方程
c² + d² = 5²， ③
(c - a)² + (d - b)² = 5²， ④
③ - ④得
2ac+2bd = a² + b²，
把②代入上式，得
ac+bd = 32，
∴ bd = 32 - ac. ⑤
把⑤代入b²×③得
b²c²+(32-ac)²=5²b²，
(a² + b²)c² - 64ac + 32² - 5²b²=0，
把②代入上式，得
8²c² - 64ac + 32² - 5²b²=0，
△ = (-64a)² - 4 · 8² · (32² - 5²b²)=48²b²，
∴ c = (64a + 48|b|)/(2·8²) = (4a+3|b|)/8，
∵ b < 0,
∴ c = (4a - 3b)/8，
把①代入上式得
c = 2.
∴ Q点在AD的中垂线上，
∴ DQ=AQ=5.
把a=(3/4)b + 4代入②，解得
b=(-48±32√21)/25，舍去正值即
b=(-48-32√21)25,
∴ DM = (12+8√21)/5.
∴ △DMQ的周长=(62+8√21)/5。
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