2013年的函数对称性的高考真题,含金量不会降低,优雅不会过时

这道高考题太经典，考察了函数单调、对称性质以及最值求解，技巧性很强，方法很多，高一高二高三都能做，下面我们来看看具体的解法。

高一：换元求最值法，常用不等式

高二高三：利用导数求最值。

（2013年新课标I卷·理·数·16题）已知 的图像关于直线 对称，求 的最大值。

解：第一步，找已知零点

由 可知：

• ，

所以 和 是函数的两个零点。

第二步：利用对称性找全部零点

图像关于 对称，零点也关于对称轴对称：

所以四个零点为：

因此：

即

到这一步，就开始有不同的解法了

第三步：重写函数并求最值

法一：

将四个零点两两配对（对称轴两侧各取一个）：

重新组合，让对称轴 出现：

令，则：

当 时（即）， 取得最大值。

答案：

法二：

函数的对称轴为，我们知道，函数左右平移，函数最值不会改变，所以将函数向右平移2个单位，得到一个新函数关于轴对称

令，则：

当 时， 取得最大值16。

所以

法三：

利用如下常用不等式：

取等条件是，但并不需要 和 为正实数。

当且仅当 时取等。

因此 的最大值为。

法四：

利用导数求解：

求导，得

令，得

当 时，；

当 时，；

当 时，；

当 时，。

 在区间、 上是增函数，在区间、 上是减函数。

又

 的最大值为。