[NEU-真题] 东北大学 2024-2025 研究生《应用数理统计》期末解析

一、设随机变量列 .

(1) 求  的分布；

(2) 证明  与参数  无关.

【解析】

(1) 每个  独立同分布于伯努利分布，故  为  次独立重复试验的成功次数，因此

(2) 对任意  且 ，联合分布与  的交集为

若 ，则概率为 . 于是条件概率为

当  时；否则为 . 该表达式不依赖于 .

二、设简单随机样本  来自泊松总体 ，参数  的先验分布为 . 在损失函数  下，求  的 Bayes 估计. (提示： 期望为 ，方差为 )

【解析】

先验密度为 . 样本似然函数

后验密度

即 . 后验风险为

对  求导并令为零：

解得

由后验分布  其中 ，可得

故 Bayes 估计为

三、总体  的概率密度函数为

其中  为未知参数， 是来自该总体的简单随机样本.

(1) 求  的极大似然估计量 ；

(2) 判断  是否为  的无偏估计.

【解析】

(1) 似然函数为

对数似然函数

求导

解得极大似然估计为

(2) 令 ，则当  时，，密度为

即 ，故 . 于是

故  是  的无偏估计.

四、总体  的概率密度函数为

其中  为未知参数， 是来自该总体的简单随机样本.

(1) 令 ，求  的概率密度函数；

(2) 构造  的置信水平为  的置信区间.

【解析】

(1) 总体分布函数为 ，. 最大值  的分布函数为

密度函数为

令 ，则 ，密度函数为

(2) 由 (1) 知 ，分布函数 . 取  满足

解得

于是

即

故  的置信水平为  的置信区间为

五、设 .

(1) 求假设  的显著性水平为  的显著性检验；

(2) 样本容量  至少应为多少，才能保证这个检验在  时第二类错误的概率不超过 .

【解析】

(1) 令 ，则 . 取拒绝域为 ，临界值  满足

即 . 当  时拒绝 .

(2) 要求 ，等价于

同时  须满足 (1) 中的水平条件. 尝试 ，寻找最小的  使得

经计算，

若取 ，则  无法达到 ；若取 ，所需  更大. 故最小的  为 ，此时 ，第一类错误概率约 ，第二类错误概率约 ，均满足要求.

六、设总体  的概率分布为

其中  () 为未知参数. 现有一容量  的简单随机样本，其中  和  分别出现了  次. 在显著性水平  下，能否认为该组样本来自该总体？

【解析】

首先在原假设下估计参数 . 由频数  构造似然函数：

对数似然求导：

解得 . 故期望频数为：

计算 Pearson 卡方统计量：

自由度 (估计了一个参数). 查表得 . 由于 ，不拒绝 ，故可以认为该组样本来自该总体.

七、某商场准备在商场内安装充电式应急照明灯，通过招标收到  家照明灯生产商的投标. 该商场对  个生产商的产品进行抽样检验，以最终确定供应商，各个样品充电后可持续照明的时间长度(小时)数据如下：

假设上述数据满足单因素方差分析模型的条件，在显著性水平  下，检验三家生产商的电池的持续照明的平均寿命有无显著差异.

(提示：分组均值与样本方差，: , ；: , ；: , ；全部数据的均值与样本方差：, ．)

【解析】

记三组总体均值分别为 ，检验假设

由题意，总平方和 ，自由度 ；组内平方和 ，自由度 ；组间平方和 ，自由度 . 均方及  统计量：

在  下，. 查表得 . 因 ，拒绝 ，认为三家生产商的平均照明时间有显著差异.

八、考虑一元回归模型

记样本观测数据 , ，设  分别是参数  的最小二乘估计.

(1) 求  的分布；

(2) 对检验水平 ，求假设检验问题

的拒绝域.

【解析】

(1) 记 ，，. 最小二乘估计的性质：

且 . 考虑线性组合 ：

其中 . 故

(2) 当  未知时，用残差方差  代替，构造  统计量

在  下，. 对于单侧备择 ，显著性水平  下的拒绝域为

其中  为  分布的上侧  分位数.