【高考真题2026】-大题15

解答

2．如图所示，纸面内建有直角坐标系xOy，直线y=－x＋d（d > 0）左下为Ⅰ区、直线y=－x＋3d右上为Ⅱ区，两条直线之间在y轴左、右两侧分别为Ⅲ区和Ⅳ区。Ⅰ区和Ⅱ区有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，Ⅰ区磁场方向垂直纸面向外，Ⅱ区磁场方向未知；Ⅲ、Ⅳ区无磁场。Ⅲ区有长度为2d且平行于y轴的细管加速器，可使进入管内的带正电微粒具有沿y轴正方向的恒定加速度。质量为m、电荷量为q（q > 0）的微粒甲在纸面内运动，不计微粒重力，微粒不与细管加速器发生碰撞。

(1)若甲在Ⅰ区做半径为2d的圆周运动，求该运动的速度大小；

(2)若甲做周期性运动，每次过（d，0）时速度均沿x轴正方向，求此周期性运动的周期；

(3)若甲在Ⅰ区的圆周运动轨迹半径为2d且Ⅱ区磁场方向垂直纸面向外。某时刻甲与静止在（d，0）处的不带电微粒乙发生弹性正碰，碰撞过程中无电荷交换，碰撞后乙沿x轴正方向运动。乙与甲的质量之比为k。要使甲与乙再次正碰，且碰撞前甲仅进入Ⅱ区一次，求细管加速器位置的横坐标及k需满足的条件。

【详解】（1）洛伦兹力提供向心力

代入r = 2d解得

（2）若II区域的磁场方向垂直于纸面向外，则粒子甲不满足每次经过（d，0）；若II区域的磁场方向垂直于纸面向内，则满足如图的回旋运动；综上，II区域的磁场方向垂直于纸面向内，运动轨迹如图

根据几何关系可知

解得

总路程

运动周期

（3）由题知需要在x轴上相遇，粒子甲必定在（3d，0）处与粒子乙相遇，则碰撞后，粒子甲反向圆周运动后竖直进入细管加速器，粒子乙正向匀速运动，画出运动图示如图

已知甲初速度

甲、乙发生弹性正碰，根据动量守恒、能量守恒有mv₀=mv₁＋kmv₂

联立解得

粒子甲在I区域运动的半径

则细管加速器的横坐标

粒子甲在II区域运动的半径

根据

解得

粒子甲在细管加速器中做匀加速直线运动，时间为t，有│v₁│＋at = v_甲2

联立解得

根据相遇的等时性

已知k > 1，化简得

则细管加速器的横坐标