1 一、选择题
1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
1
曲线
的斜渐近线方程为（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： B
知识点：
- 斜渐近线的斜率与截距的极限求法；
- 对数函数的等价无穷小；
- 无穷远处的极限。
解析：
设斜渐近线为 。当 时，
再求截距：
因此斜渐近线为
故选 B。
2
函数
的一个原函数为（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： D
知识点：
- 分段函数原函数的存在条件；
- 基本积分公式与分部积分法；
- 原函数在分段点处的连续性、可导性。
解析：
当 时，
当 时，分部积分得
要使分段表达式构成整个实数域上的一个原函数，除两段分别求导正确外，还需在 处衔接。取 ，右段在 的极限为 ；左段在 的值为 ，故应取
此时左右导数均为 ，所以该函数在 处也可导。于是一个原函数为
故选 D。
3
已知数列 ， 满足
则当 时，（ ）。
A. 是 的高阶无穷小
B. 是 的高阶无穷小
C. 与 是等价无穷小
D. 与 是同阶但不等价的无穷小
答案： B
知识点：
- 递推数列的单调有界性与极限；
- 高阶无穷小的判定；
- 三角函数不等式与比较法。
解析：
由 以及 可知，
故 单调递减且有下界，设其极限为 。由递推关系得
从而 ，即 。
另一方面，
为比较二者的阶，注意到 ，故
于是
因此
所以 ，即 是 的高阶无穷小。
故选 B。
4
若微分方程
的解在 上有界，则（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： C
知识点：
- 二阶常系数齐次线性微分方程；
- 特征方程及其根的分类；
- 解在全实轴上有界的条件。
解析：
特征方程为
若特征根为非零实根，则相应的指数函数在 或 时必无界；若有重根 ，通解中含有一次项 ，同样不能保证所有解有界。
若特征根为共轭复根 ，则通解形如
要使解在 上有界，必须有
因此特征根只能为
由韦达定理，
故选 C。
5
设函数 由
确定，则（ ）。
A. 连续， 不存在
B. 存在， 在 处不连续
C. 连续， 不存在
D. 存在， 在 处不连续
答案： C
知识点：
- 参数方程化为显函数；
- 分段函数的一阶、二阶可导性；
- 利用左右导数判定导数连续性。
解析：
当 时，
故
当 时，
故
因此
又 ，且
对 求导，得
两侧极限均为 ，所以 在 处连续。
再考察二阶导数在 处的左右极限：
左右极限不相等，故 不存在。
故选 C。
6
若函数
在 处取得最小值，则 （ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： A
知识点：
- 含参数的反常积分；
- 型反常积分的收敛条件；
- 参数函数的单调性与最值。
解析：
先确定积分的收敛范围。令
则
该反常积分收敛当且仅当
在 上，
求导得
由于 ，所以
令 ，得到唯一驻点
并且 当 ， 当 ，故 先减后增，在 处取得最小值。
故选 A。
7
设函数
若 没有极值点，但曲线 有拐点，则 的取值范围是（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： C
知识点：
- 一元函数极值点的导数符号判定；
- 拐点的二阶导数变号判定；
- 二次三项式恒非负与判别式。
解析：
有
由于 ，要使 没有极值点，只需二次式
在全体实数上恒非负。其判别式应满足
故
再求二阶导数：
曲线有拐点要求 变号。由于 ，这等价于二次式
有两个不同实根，即
因此
综合可得
故选 C。
8
设 为 阶可逆矩阵， 为 阶单位矩阵， 为矩阵 的伴随矩阵，则
（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： D
知识点：
- 分块上三角矩阵的行列式与逆矩阵；
- 伴随矩阵公式；
- 矩阵乘法的顺序。
解析：
设
因为 均可逆，所以 可逆，且
由分块矩阵求逆公式，
利用
得
注意右上角的乘积顺序不能交换。故选 D。
9
二次型
的规范形为（ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： B
知识点：
- 二次型及其对应实对称矩阵；
- 特征值与二次型的标准形；
- 二次型的秩与正、负惯性指数。
解析：
二次型对应的实对称矩阵为
其特征多项式为
故特征值为
由于 为实对称矩阵，二次型经正交变换可化为对角形，其中有一个正平方项、一个负平方项和一个零项。再经非零系数的伸缩变换，规范形为
故选 B。
10
已知向量
若 既可由 线性表示，也可由 线性表示，则 （ ）。
A.
B.
C.
D.
答案： D
知识点：
- 向量的线性表示与线性子空间；
- 两个向量组张成空间的交；
- 齐次线性方程组的参数解。
解析：
设
比较三个分量，得
由第一式得
代入第三式，得
联立
可得
因此
故选 D。
2 二、填空题
11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11
当 时，函数
与
是等价无穷小，则
答案：
知识点：
- 常用函数的泰勒（皮亚诺）展开；
- 等价无穷小的定义与比较；
- 无穷小的主部判定。
解析：
当 时，
从而
又有
故
由 可知， 的一次项必须消失，且二次项系数应与 相同。因此
所以
进而
12
曲线
的弧长为
答案：
知识点：
- 微积分基本定理；
- 平面曲线弧长公式；
- 根式积分与反三角函数原函数。
解析：
被积函数有意义时，
由微积分基本定理，
因此曲线弧长为
利用
得
故所求弧长为
13
设函数 由
确定，则
答案：
知识点：
- 隐函数的存在条件；
- 隐函数的一阶、二阶偏导数；
- 复合函数的偏导法则。
解析：
设
在 处，原方程变为
故
又
在 处有 ，故 在该点邻域内可由 的函数确定。
对
两边关于 求偏导，得
代入 ，可得
再对上式关于 求偏导，得
代入 、、，得
因此
14
曲线
在 对应点处的法线斜率为
答案：
知识点：
- 隐函数的求导；
- 曲线切线与法线的斜率关系；
- 对应点的确定。
解析：
当 时，曲线方程化为
函数 单调递增，且 满足上式，故对应点为
对方程
两边求导，得
代入 ，得到切线斜率
故法线斜率为
15
设连续函数 满足
则
答案：
知识点：
- 函数关系式在定积分中的应用；
- 定积分的区间可加性；
- 换元积分法。
解析：
由题设，
于是
由
可得
16
已知线性方程组
有解，其中 为常数。若
则
答案：
知识点：
- 线性方程组有解的秩条件；
- 增广矩阵与行列式；
- 按列展开行列式。
解析：
方程组有解时，其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且不超过 。因此增广矩阵对应的四阶行列式为零：
按最后一列展开，得
由已知条件，
故
从而
3 三、解答题
17～22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（本题满分 10 分）
设曲线 （）经过点 ，且 上任一点 到 轴的距离等于该点处切线在 轴上的截距。
- 求 ；
- 在 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积。
知识点：
- 切线方程及其坐标轴截距；
- 一阶线性微分方程与初值条件；
- 利用导数求函数最值；
- 由截距构造三角形面积。
解析：
（1）求曲线方程
曲线上点 处的切线方程为
令 ，得切线在 轴上的截距为
因为 ，点 到 轴的距离为 。由题意，
即
将其写为
积分得
又曲线经过 ，故
从而 。因此
（2）求最小面积
由
得
点 处的切线可化为
该切线与两坐标轴的截距分别为
由于 ，二者均为正数，故所围三角形面积为
求导得
在区间 上， 在 的两侧分别为负、正，故该点为唯一极小点。于是
所求点为
最小面积为
18（本题满分 12 分）
求函数
的极值。
知识点：
- 二元函数的驻点；
- 二阶偏导数与 Hessian 判别法；
- 配方判定全局最小值。
解析：
一阶偏导数为
令
由 知 ，故由 可知
因此驻点为
二阶偏导数为
记
在
处，
故该点不是极值点。
在
处，
故该点为极小值点。其函数值为
此外，
等号恰在 、 时成立。因此这些极小值也是全局最小值；函数无极大值。
综上，函数在
处取得极小值
19（本题满分 12 分）
已知平面区域
- 求 的面积；
- 求 绕 轴旋转所成旋转体的体积。
知识点：
- 无穷区间上的反常积分；
- 平面图形面积；
- 绕坐标轴旋转的体积（圆盘法）；
- 三角代换与部分分式分解。
解析：
（1）求 的面积
区域面积为
令
则 从 变化到 ，并且
于是
（2）求旋转体体积
绕 轴旋转，采用圆盘法：
裂项得
故
因此
20（本题满分 12 分）
设平面有界区域 位于第一象限，由曲线
与直线
围成，计算
知识点：
- 二重积分的极坐标变换；
- 极坐标下积分区域的表示；
- 雅可比行列式；
- 三角代换。
解析：
作极坐标变换
由第一象限内的两条射线
可得
又
因此区域 在极坐标下表示为
原积分为
其中
故
令
则
因此
21（本题满分 12 分）
设函数 在 上具有二阶连续导数。证明：
- 若 ，则存在 ，使得
- 若 在 内取得极值，则存在 ，使得
知识点：
- 带拉格朗日余项的泰勒公式；
- 费马引理；
- 连续函数的介值性；
- 不等式估计。
解析：
（1）证明存在
由 ，分别在 处对 、 使用带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，存在
使得
两式相加，得
右端是 与 的平均值，位于二者之间。由于 在 上连续，故由介值定理，存在
使得
（2）证明存在
设 是 的一个极值点。由费马引理，
分别在 处对 和 使用二阶泰勒公式，存在
使得
两式相减，并令
则
故
证毕。
22（本题满分 12 分）
设矩阵 满足：对任意 ，均有
- 求 ；
- 求可逆矩阵 与对角矩阵 ，使得
知识点：
- 线性变换的矩阵表示；
- 特征值、特征向量；
- 矩阵可对角化的判定与构造。
解析：
（1）求矩阵
由题设，
因此
（2）对角化
特征多项式为
故特征值为
分别可取对应特征向量为
令
由于三个特征值互不相同，对应的特征向量线性无关，故 可逆，且