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1 一、选择题
1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）
已知当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
。
所以 。
（2）
已知 在 处可导，且 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
。
（3）
函数 的驻点个数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
。
令 ，得 ，故驻点个数为 。
（4）
微分方程 的特解形式为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
对应齐次方程的特征根为 ，右端 均与齐次解重复。
故特解应设为 。
（5）
设函数 均有二阶连续导数，满足 ，且 ，则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
解析：
在 处，。
又 ，，。
若取极小值，需 且 。结合 ，可得 。
（6）
设 ，，，则 的大小关系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
当 时，。
因 单调递增，所以 ，故 。
（7）
设 为 阶矩阵，将 的第 列加到第 列得矩阵 ，再交换 的第 行与第 行得单位矩阵，记
，，
则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
由列变换知 ，故 。
又由行交换知 ，所以 。
因此 。
（8）
设 是 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组 的一个基础解系，则 的基础解系可为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
由题意，，且 ，故 。
于是 ，说明 的列向量均为 的解。
又 ，故基础解系含 个线性无关解。 线性无关，故选（D）。
2 二、填空题
9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）
答案：
解析：
。
（10）
微分方程 满足条件 的解为
答案：
解析：
由一阶线性微分方程通解公式：
。
由 得 ，故 。
（11）
曲线 的弧长
答案：
解析：
，故
。
（12）
设函数
，其中 ，则
答案：
解析：
。
（13）
设平面区域 由直线 ，圆 及 轴围成，则二重积分
答案：
解析：
在极坐标下，圆为 ，区域为 ，。
所以
。
（14）
二次型 的正惯性指数为
答案：
解析：
对应矩阵为
。
其特征值为 ，故正惯性指数为 。
3 三、解答题
15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
已知函数
，
设 ，试求 的取值范围。
解析：
当 时， 时 ，与题设矛盾，故 。
当 时，，由洛必达法则可知需 。
当 时，
，
需 。
综上，。
（16）（本题满分 11 分）
设函数 由参数方程
确定，求 的极值和曲线 的凹凸区间及拐点。
解析：
，。
令 ，得 。
当 时，，且 ，故 为极小值。
当 时，，且 ，故 为极大值。
令 ，得 ，对应拐点为 。
当 时，；当 时，。故凸区间为 ，凹区间为 。
（17）（本题满分 9 分）
设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导且在 处取得极值 ，求 。
解析：
由 在 处取极值，得 。
对 求偏导并代入 ，得
。
（18）（本题满分 10 分）
设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲线 在点 处切线的倾角，若 ，求 的表达式。
解析：
由题意，，且 。
因此 ，由 得
。
令 ，解得
。
再由 ，得
。
（19）（本题满分 10 分）
（I）证明：对任意的正整数 ，都有 成立。
（II）设 ，证明数列 收敛。
解析：
（I）对 在 上应用拉格朗日中值定理，得
。
因此 。
（II）
，
故 单调递减。
又由（I）可得
，
故 有下界。由单调有界定理， 收敛。
（20）（本题满分 11 分）
一容器的内侧是由曲线绕 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 与 连接而成。
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？长度单位为 ，重力加速度为 ，水的密度为 。
解析：
（I）容积为
。
（II）将高度为 的薄片抽至顶部 ，距离为 。
所需功为
。
计算得
。
（21）（本题满分 11 分）
已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，，，其中 。计算二重积分
。
解析：
由分部积分，
。
先对 分部积分，再对 分部积分，并利用 、，可得
。
（22）（本题满分 11 分）
设向量组
，，，
不能由向量组
，，
线性表示。
（I）求 的值；
（II）将 由 线性表示。
解析：
（I）对 作初等行变换，可知当 时， 不能由 线性表示。
故 。
（II）对 作初等行变换，得
，
，
。
（23）（本题满分 11 分）
为三阶实对称矩阵， 的秩为 ，即 ，且
。
（I）求 的特征值与特征向量；
（II）求矩阵 。
解析：
（I）设 ，。
由题意得
，。
故 为 的特征值，对应特征向量分别为 ，。
又 ，故 。由于 为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交，所以 对应特征向量为 。
（II）将特征向量单位化：
，
，
。
令 ，则
。
所以
。