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1 一、选择题
1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
（1）
曲线 渐近线的条数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
解析：
，故 为垂直渐近线。
，故 为水平渐近线。
因此共有 条渐近线，选 C。
（2）
设函数 ，其中 为正整数，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： C
解析：
求导后令 ，只有第一项求导后不为 ，故
。
（3）
设 ，，则数列 有界是数列 收敛的（ ）
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
答案： B
解析：
若 有界且 ，则级数 收敛，从而 ，故 收敛。
反之， 收敛不一定推出 有界，如 。故为充分非必要条件。
（4）
设 ，则有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
解析：
将 看作关于 的函数，则
。
由于 ，所以 ，故选 D。
（5）
设函数 可微，且对任意 都有 ，， 成立的一个充分条件是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案： D
解析：
由 ， 可知， 关于 单调递增，关于 单调递减。
因此 时，有 ，选 D。
（6）
设区域 由曲线 ，， 围成，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
由区域对称性，，故
。
（7）
设
，，，，
其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
由于
，
所以 线性相关，选（C）。
（8）
设 为 阶矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 ，，，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
。
所以
。
故选（B）。
2 二、填空题
9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）
设 是由方程 所确定的隐函数，则 ________。
答案：
解析：
令 ，得 。
对 两边求导得 ，代入 ，得 。
再求导得 ，代入 ，得 。
（10）
计算 ________。
答案：
解析：
原式
。
（11）
设 ，其中函数 可微，则 ________。
答案：
解析：
，。
故 。
（12）
微分方程 满足初始条件 的解为________。
答案：
解析：
由原方程得
。
解得
。
由 时 ，得 ，所以 。
（13）
曲线 上曲率为 的点的坐标是________。
答案：
解析：
。
代入曲率公式
，
得 ，解得 或 。由 ，取 ，此时 。
（14）
设 为 阶矩阵，， 为 的伴随矩阵，若交换 的第一行与第二行得到矩阵 ，则 ________。
答案：
解析：
，故
。
因此
。
3 三、解答题
15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
已知函数 ，记 。
（1）求 的值；
（2）若当 时， 是 的同阶无穷小，求 。
解析：
（1）
，
故 。
（2）
。
又 ，所以 ，故 。
（16）（本题满分 10 分）
求 的极值。
解析：
，。
驻点为 与 。
函数在 处取得极大值 ；在 处取得极小值 。
（17）（本题满分 10 分）
过点 作曲线 的切线，切点为 ，又 与 轴交于 点，区域 由 与直线 及 轴围成，求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解析：
设切点为 ，切线方程为
。
代入点 ，得 ，切线方程为 。
区域面积为
。
旋转体体积为
。
（18）（本题满分 10 分）
计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成。
解析：
由极坐标变换得
。
即
。
（19）（本题满分 11 分）
已知函数 满足方程 及 。
（1）求表达式 ；
（2）求曲线 的拐点。
解析：
（1）特征方程为 ，得通解
。
由 得 ，故 。
（2）曲线方程为
。
求导得
。
当 时，；当 时，；当 时，。
故唯一拐点为 。
（20）（本题满分 10 分）
证明：
。
解析：
令
。
则 ，且
。
当 时，；当 时，。
因此 ，即
。
（21）（本题满分 11 分）
（1）证明方程 的整数 在区间 内有且仅有一个实根；
（2）记（1）中的实根为 ，证明 存在，并求此极限。
解析：
（1）令
。
有 ，且
。
由零点定理知存在实根；又 在 内严格递增，故实根唯一。
（2）由
得
。
可知 单调有界，故极限存在。
设 ，则
，
故 ，即 。
（22）（本题满分 11 分）
设
，。
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）已知线性方程组 有无穷多解，求 ，并求 的通解。
解析：
（Ⅰ）
。
（Ⅱ）有无穷多解需满足
，
故 。
此时增广矩阵可化为
。
导出组基础解系为 ，一个特解为 。
故通解为
，
其中 为任意常数。
（23）（本题满分 11 分）
三阶矩阵
， 为矩阵 的转置，已知 ，且二次型 。
（1）求 ；
（2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
解析：
（1）由 ，得
，
所以 。
（2）当 时，
。
特征方程为
。
故特征值为 。对应特征向量可取
，，。
单位化得
，，。
令 ，则在正交变换 下，二次型化为标准型
。
