一、整体解题思路总览
本题以等差数列、等比数列为基础，结合集合计数与交替符号求和展开命题，整体难度分层递进：
第 (1) 问为基础送分题，用基本量法列方程组即可求解通项； 第 (2) 问的核心突破口是判断两数列无公共元素：利用奇偶性可直接证明两数列没有相同项，计数时无需考虑容斥去重，计算量大幅降低； 第 (2)(ii) 问为压轴难点，采用「分段固定参数 + 奇偶配对抵消 + 拆分经典求和」的策略，将复杂求和拆解为高考高频的纯等比、等差乘等比两类模型，逐步求解。
二、详细解答
（1）求数列 ， 的通项公式
思路分析
对等差数列设公差 ，对等比数列设公比 ，将题目给出的两个等量关系转化为关于 的二元方程组，求解后代入通项公式即可。需注意等比数列公比不能为 0 的隐含约束，舍去增根。
详细解答
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 。
由已知 ，，结合条件 ，，代入通项形式列方程组：
代入初始值化简得：
将 代入第二式，得 ，整理为 ，解得 或 。
由于等比数列公比不能为 0，舍去 ，得 ****，对应 ****。
因此数列通项为：
（2）集合计数与求和问题
核心前置结论：两数列无公共元素
由通项可知：
，所有项均为正偶数； ，3 的整数次幂均为奇数，所有项均为正奇数。
偶数与奇数不可能相等，因此 与 不存在公共元素，集合 的元素个数可直接用两类数列的项数相加，无需容斥去重。
即 等于不超过 的 的项数与不超过 的 的项数之和。
（i）求
思路分析
分别统计不超过 的等差数列项数、等比数列项数，再相加化简。利用** 为奇数**的特性，可直接写出偶数项的计数结果；等比数列的项数可通过解不等式直接得到整数结果。
详细解答
统计不超过 的 项数
由 ，得 。
由于 是奇数，因此正整数 的最大值为 ，即共有 项。
统计不超过 的 项数
由 ，得 ，即 。
为正整数，因此共有 项。
合并化简
由于两数列无公共元素，直接相加得：
特例验证：当 时，， 共 3 个元素；代入公式得 ，结果一致。
（ii）求
思路分析
求和式带有交替符号 ，且 随 变化形式复杂，采用三步化简策略：
分段降维：按 3 的幂次将求和区间拆分为 段，每段内 的项数固定， 仅随 的奇偶性变化，表达式简化； 配对抵消：利用交替符号，将相邻的奇数项、偶数项配为一组，计算单组和以消去高次项，大幅简化计算； 拆分求和：将各段的和拆分为纯等比数列、等差乘等比数列两类经典模型，分别用等比求和公式、错位相减法求解，最终合并结果。
详细解答
步骤 1：按 3 的幂次划分求和区间
将求和区间 划分为 个互不重叠的子区间，第 个区间为 （）。
在区间 内，满足 的项恒有 个（ 到 均不超过 ，），即 中等比部分的计数固定为 。
步骤 2：写出段内 与 的表达式
根据 的奇偶性，分别写出 ：
当 为偶数时，不超过 的 有 个，故 ； 当 为奇数时，不超过 的 有 个，故 。
结合 ，代入得 的分段形式：
步骤 3：奇偶配对计算单组和
每个区间共有 项，为偶数项，可将相邻的奇数 与偶数 配为一组，计算单组的带符号和：
步骤 4：计算单个区间的总和
每个区间内共有 组， 的取值为 ，构成首项为 、末项为 、项数为 的等差数列。
对单组和 批量求和：
其中 的和由等差数列求和公式得：
代入化简：
步骤 5：总求和拆分与分项计算
将 个区间的和累加，得到总求和式：
拆分为两部分分别计算：
① 纯等比部分计算
由等比数列求和公式：
② 等差乘等比部分计算（错位相减法）
令 ①
两边同乘公比 3，得：
用①式减②式：
两边同除以 ，得：
步骤 6：合并化简最终结果
将两部分结果通分合并：
特例验证：当 时，求和上限为 ，直接计算得 ；代入公式得 ，结果一致。
三、解题技巧与考点总结
核心考点
| 数列基础 | |
| 集合计数 | |
| 数列求和 | 交替符号求和 |
关键解题技巧
抽象问题具象化：遇到陌生的集合计数定义，先写出前几项找规律，优先观察奇偶性、整除性等数论特征，快速判断是否需要去重；
交替求和配对法：出现 形式的交替符号求和，优先考虑相邻两项配对，可直接消去高次项与交叉项，大幅降低计算复杂度；
分段降维思想：当计数式包含多类增长速度不同的数列时，按增长更快的数列的幂次分段，使段内参数固定，将复杂问题拆解为多个简单子问题。
应试拿分策略
第 (1) 问务必拿满分，解完后代回原题条件验算，避免计算低级失误； 第 (2)(i) 问先写清 "两数列奇偶不同、无公共元素" 的推导，再分别计数，即使最终化简有误也能拿到大部分步骤分； 第 (2)(ii) 问分层得分：写出分段思路、配对过程可得一半分数；完成错位相减可拿到绝大多数分数；最后合并结果时用 特例验证，避免收尾计算出错。
