24．如图，四边形ABCD内接于圆O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交交圆O于点F，AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°.
（1）求∠E的度数；
（2）求证：四边形AFEC是平行四边形；
（3）设CF交BD于点G，且
，求
的值．
PART 1
（1）
考查等边三角形，圆内接四边形的性质定理。
PART 2
（2）
法1
两组对边分别平行
法2
一组对边平行且相等
PART 3
（3）
子母型相似
本题以圆为背景，可利用圆心角、弧、弦关系定理倒角，得子母型相似，推导BD与AC的关系。
法
Method
&
一
One
一
等边三角形+平行四边形
二
A、8模型
三
子母型相似
法
Method
&
二
Two
一
平行弦
二
A、8模型
三
子母型相似
由以上两法，得出本题三个关键步骤：
第一步：通过倒角可得等边三角形ABD、等边三角形BCE，等边三角形DEF、平行四边形AFEC;通过平行弦证可得BF=CD，BD=CF，即线段的等量关系总结如下：
①AB=AD=BD=CF;
②BC=BE=CE=AF;
③ BF=CD;
④AC=EF.
第二步：证BE=2BF.
第三步：建立BD与AC的等量关系.
第一步证法较直接，不再展开.第二步、第三步有较多方法，所以以下将单独对第二步、第三步进行多种解法说明.
第二步：证BE=2BF
本题已知CG：GF=2：3，CG与GF在同一直线上，所以可过等分点作平行构造A、8模型，从而证明BE=2BF.
法
Method
&
三
Three
二
BK∥CF
法
Method
&
四
Four
二
BK∥DE
法
Method
&
五
Five
二
GK∥EF
法
Method
&
六
Six
二
GK∥DE
法
Method
&
七
Seven
二
DK∥EF
法
Method
&
八
Eight
二
DK∥CF
法
Method
&
九
Nine
二
勾股定理
法
Method
&
十
Ten
二
EK∥BD
法
Method
&
十一
ELeven
二
FK∥DE
法
Method
&
十二
Twelve
二
CK∥BD
第三步：BD与AC
本题存在众多60°，所以均可利用作垂线，构造30°，60°，90°的特殊直角三角形，从而建立BD与AC的关系。
法
Method
&
三
Three
三
CH⊥BE
法
Method
&
四
Four
三
BH⊥CE
法
Method
&
五
Five
三
DH⊥BE
法
Method
&
六
Six
三
AH⊥EF
法
Method
&
七
Seven
三
BH⊥AC
法
Method
&
八
Eight
三
AH⊥BC
法
Method
&
九
Nine
三
FH⊥AC
法
Method
&
十
Ten
三
CH⊥AF
法
Method
&
十一
ELeven
三
DH⊥AC
