剑桥大学圣约翰学院数学真题面试25
剑桥大学圣约翰学院（St John's College, Cambridge）开设了剑桥大学绝大多数的本科专业。作为剑桥规模最大的学院之一，它在数学、自然科学、工程学、法律和英语文学等传统强项上招收大批本科生。
数学 (Mathematics)：圣约翰是剑桥的“数学重镇”，拥有极强的学术底蕴与庞大的数学本科生群体。剑桥大学圣约翰学院（St John's College）的本科数学面试以“硬核”著称。该学院通常将面试分为纯数学（Pure Maths）和应用数学（Applied Maths）两场，非常看重申请者在面对未学过的知识时的实时逻辑推理和“大声思考”（Think Aloud）的能力.
结合近年来圣约翰学院的真实面试反馈、STEP考试风格以及2025/2026年入学的最新微调趋势，为你整理了10个最具代表性的圣约翰数学本科面试真题与核心考察点。
一、 纯数学与函数微积分（Pure & Calculus）
1. 函数图像绘制 (Graph Sketching)【真题】
English:Sketch the graph of 
without differentiating. What happens to the graph of 
as x approaches 0?中文： 在不求导的情况下，画出函数
的图像。当 x 趋近于 0 时，函数 
的图像会发生什么？考察对函数宏观性质（极限状态、渐近线、对称性、特殊点）的直觉。评估学生是否能在摆脱“机械求导”的公式依赖后，依然具备定性分析复杂函数的能力。第一步： 拆解因式，寻找特殊点（如 x=0 时 y=0）和函数的正负号
> 0)，所以图像全在 x 轴上方。第二步： 分析趋于无穷大时的行为。当
时，指数爆炸增长的速度远大于多项式，故
；当 
时，两部分都趋于正无穷，故
第三步（针对追问）： 引入复合函数代换。令
。当 
时，
开始在 [-1, 1] 之间产生“无限密集的剧烈振荡”。2. 第一原理求导 (Calculus from First Principles)
【真题】English:Differentiate 
from first principles. If a function is discontinuous at a point, can it be differentiable there? Can you think of a function that is continuous everywhere but differentiable nowhere?中文： 用第一原理（导数定义极限）求 
的导数。如果一个函数在某点不连续，它在那点可导吗？你能想到一个处处连续但处处不可导的函数吗？测试对微积分底层数学严谨性（严格定义）的掌握，而非应试中的“公式套用”。考察数学分析中关于“连续性”与“可导性”充要条件的逻辑思辨。第一步： 写出导数的核心极限公式：
将
) 代入，并利用三角函数和差化积公式进行拆分。第二步： 运用经典极限 
和 
进行化简证明。第三步（逻辑梳理）： 明确“可导必连续，不连续必不可导”的逆否命题。对于追问，提及“魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）”或通过分形几何（如雪花曲线的边界）的思想进行描述。3. 积分与瑕积分 (Integration & Limits)
【真题】English: Discuss and evaluate the integral 
中文： 讨论并计算定积分
设置陷阱，测试学生在解题时是否具备敏锐的审题和“边界检查”习惯。考察学生面对积分区间内存在不连续点（奇点）时，转化为瑕积分（Improper Integral）处理的能力。错误警示： 绝对不能直接代入公式得到 
因为在x=3 处函数无定义（趋于无穷）。正确切入： 必须在 x=3 处将积分断开，写成两个极限的形式：
最终分析： 经计算，这两个极限在趋近于 3 时分别发散到负无穷和正无穷，且发散速度不一致，因此该定积分在严格数学意义上是发散的（Divergent）。二、 代数、不等式与数论（Algebra & Number Theory）
4. 均值不等式推广 (Inequalities)
【真题】English: Prove that 
for all positive real numbers \(a\) and \(b\). How would you generalise this to three variables \(a, b,\) and \(c\)?中文： 证明对于所有正实数 a 和 b，均有 
。你将如何把它推广到三个变量 a, b 和 c 的情况？虽然题目基础，但重在考察学生能否将“特殊结论”抽象并推广为“一般性规律（Generalisation）”的数学直觉。评估在面对三元均值不等式时，能否灵活运用数学归纳法或巧妙的代换技巧。第一步（二元证明）： 从 
展开，移项即可直接证明。第二步（三元推广）： 剑桥最欣赏的解法是柯西的“倒推归纳法（Forward-Backward Induction）”。先通过二元证明四元：
第三步： 令 
代入四元不等式中，两边化简并三次方，即可优雅地证明三元均值不等式。5. 丢番图方程与同余 (Diophantine Equations)
【真题】English:Prove that the equation 
has no solutions in integers.中文： 证明方程 
没有整数解。圣约翰学院（特别是数学系）非常青睐数论题。此题旨在考察学生是否掌握“通过模运算（Modular Arithmetic）将无限可能缩小到有限余数”的核心数论思想。第一步（寻找模数）： 看到 
和平方数，立刻联想到以 4 为模进行观察（mod 4）。第二步（分析余数）： 任何整数的平方
模 4 的余数只能是 0（当 x 为偶数）或1（当 x 为奇数）。同时，无论 y 是什么，
第三步（矛盾证明）： 方程左边 
的可能结果只有 0+0=0 或1+0=1。而等式右边 4643 = 4 x 1160 + 3，即 
左边余数绝不可能等于右边，故无整数解。三、 组合数学、概率与逻辑（Combinatorics & Logic）
6. 排列组合与递推 (Combinatorics & Recurrence)
【真题】English:In how many ways can you tile a 2 x n grid with 1 x 2 dominoes? Can you find a general formula?中文： 用 1x2 的多米诺骨牌铺满一个2 x n 的网格，有多少种不同的铺法？你能找到一个通用公式吗？考察“数学建模”和“动态规划”思想。考官想看学生是否能通过列举小案例(n=1, 2, 3）找到规律，并建立动态递推关系。第一步（小样本实验）： n=1 时有 1 种（竖着放）；n=2 时有 2 种（两竖或两横）；n=3 时有 3 种。第二步（逻辑递推）： 设(2 x n) 竖条的铺法为 f(n)。考虑最后一步：如果最后一块骨牌是竖着放的，前面还剩 2x (n-1) 的空间，有 f(n-1) 种；如果最后是横着放的，那必然是两块横着叠在一起，前面还剩 2 x (n-2) 的空间，有 f(n-2) 种。第三步： 得到递推式 f(n) = f(n-1) + f(n-2)（斐波那契数列）。若要通项公式，使用特征方程法解出该二阶常系数线性递推方程。7. 概率与博弈 (Probability & Game Theory)
【真题】English: Two players take turns placing identical coins on a circular table. The coins cannot overlap, and a player loses if they cannot place a coin. If you go first, do you have a winning strategy?中文：两个人轮流在一张圆形桌子上放同样大小的硬币，硬币不能重叠，谁放不下最后一枚硬币就算输。如果你是先手（第一个放），你是否有必胜策略？考察对空间“对称性（Symmetry）”的敏感度。数学面试中很多博弈、积分或几何题，其最高级的解法往往来源于对称性。第一步： 先手将第一枚硬币精准地放在圆形桌子的正中心（圆心）。第二步（对称镜像）： 此后，无论后手将硬币放在桌子的哪个位置，先手都立刻在关于圆心的中心对称位置放下另一枚硬币。逻辑闭环： 因为圆是中心对称图形，只要后手能找到空位放下，那么由于对称性，该位置关于圆心的镜像位置也必然是空的。因此先手永远有棋可下，后手必输。四、 应用数学与物理（Applied Maths & Mechanics）
8. 真实世界建模：阻力落体 (Differential Equations)
【真题】English: A pair of shoes is dropped from the top of a building. Assuming air resistance is proportional to velocity (f = -kv), set up the equation of motion and sketch the velocity-time graph.中文： 从一栋高楼顶部扔下一双鞋，假设空气阻力与速度成正比(f = -kv），请建立其运动方程并画出速度-时间（v-t）图像。物理与应用数学的跨学科建模能力。考官借此测试学生将牛顿第二定律转化为一阶微分方程，并通过物理极限推测数学图像走势的能力。第一步（受力分析）： 向上为正方向（或向下为正方向均可）。根据
有 
第二步（微分方程）： 整理得 
这是一个经典的一阶常微分方程，可以通过分离变量法解出 
第三步（图像与极限）： 当 
时，
（称为终端速度 Terminal Velocity）。在 v-t 图像上画出一条从零开始、逐渐拉平并无限逼近渐近线 
的平滑曲线。9. 最值优化与几何 (Optimisation & Geometry)
【真题】English: An ant is at one vertex of a solid cube and wants to walk to the diagonally opposite vertex. If it can only walk on the surface of the cube, what is the shortest path?中文： 一只蚂蚁在一个正方体的一个顶点上，它想走到距离它最远的对角线顶点，且只能沿着正方体的表面爬行，请问最短路线是什么？考察三维空间想象力和“降维打击”的思维。考官想看学生是否会陷在复杂的三维立体几何公式里，还是能主动将三维问题平坦化（Flattening）。核心突破： 几何体表面的最短距离，永远是通过“展开成二维平面”来求解（两点之间直线最短）。第一步： 将正方体相邻的两个面展开，拼成一个 2 x 1 的大长方形。第二步： 此时起点和对角线终点恰好构成了这个大长方形的对角线。根据勾股定理，最短距离即为 
（假设边长为 1）。第三步（追问延伸）： 如果是长宽高不等的长方体（ax b x c），会有 3 种不同的面展开方式，需要比较
和 
的大小，最短路径取决于哪个底边组合最小。五、 开放性与个人陈述延伸（PS Extension）
10. 个人陈述中的高级数学概念
【真题】English:In your Personal Statement, you mentioned reading about Matrix/Group Theory. Can you explain, in simple terms, what an 'Eigenvalue' or a 'Group' is?中文： 你在个人陈述（PS）中提到读过关于矩阵/群论的内容。你能用通俗易懂的语言，解释一下什么是“特征值（Eigenvalue）”或者“群（Group）”吗？严厉打击文书代写或“只读了书名/前言”的流于表面的阅读。考察学生能否将高度抽象的大学数学概念（Linear Algebra / Abstract Algebra），用直观的物理、几何或生活语言表达出来，测试真正的理解深度。对于特征值（Eigenvalue）的通俗解释： 矩阵代表着空间的“线性变换”（拉伸、旋转等）。绝大多数向量在被矩阵相乘变换后，方向都会改变。但存在极少数幸运的向量，它们在变换后方向完全保持不变，只是长度被拉伸或缩短了。这些方向不变的向量就是“特征向量”，而它们被拉伸的倍数就是“特征值”。对于群（Group）的通俗解释： 群是关于“对称性”和“操作规则”的数学。它是由一堆元素和一个操作（如加法、旋转）组成的集合。只要它满足四个完美的自洽条件（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元），它就是一个群。例如，魔方的所有旋转动作就构成了一个群。
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