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1 一、选择题
1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
（1）
设 ，其中 ，则当 时， 是（ ）
（A）比 高阶的无穷小
（B）比 低阶的无穷小
（C）与 同阶但不等价的无穷小
（D）与 等价的无穷小
**答案：**（C）
解析：
由 ，可知 ，且 。因此 ，故 与 同阶但不等价。
（2）
设函数 由方程 确定，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
解析：
由方程得 ，故
。
对 两边求导，得
。
代入 ，得 ，故原极限为 。
（3）
设函数
，，则（ ）
（A） 是函数 的跳跃间断点
（B） 是函数 的可去间断点
（C） 在 处连续但不可导
（D） 在 处可导
**答案：**（C）
解析：
由积分得
。
左右极限均为 ，所以 在 处连续；但左导数为 ，右导数为 ，故不可导。
（4）
设函数
，
若反常积分 收敛，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
反常积分分为 与 两部分。
当 时，收敛需 ；当 时，收敛需 。故 。
（5）
设 ，其中函数 可微，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
解析：
由 得
，
。
所以
。
（6）
设 是圆域 在第 象限的部分，记 ，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
令 ，则
。
当 时，，得 。
（7）
设矩阵 均为 阶矩阵，若 ，且 可逆，则（ ）
（A）矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价
（B）矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价
（C）矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价
（D）矩阵 的行向量组与矩阵 的列向量组等价
**答案：**（B）
解析：
由 可知， 的列向量组可由 的列向量组线性表示。又 可逆，，所以 的列向量组也可由 的列向量组线性表示，故选（B）。
（8）
矩阵 与 相似的充分必要条件为（ ）
（A）
（B） 为任意常数
（C）
（D） 为任意常数
**答案：**（B）
解析：
原矩阵为实对称矩阵，必可相似对角化。其与 相似的充分必要条件是特征值为 。
又
，
故需 ， 为任意常数。
2 二、填空题
9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
（9）
答案：
解析：
原式可化为
。
又 ，故答案为 。
（10）
设函数 ，则 的反函数 在 处的导数
答案：
解析：
，所以 。
当 时，，故 。
（11）
设封闭曲线 的极坐标方程为 ，则 所围成的平面图形的面积为
答案：
解析：
所围图形面积为
。
（12）
曲线 上对应于 的点处的法线方程为
答案：
解析：
，所以 。
当 时，，法线斜率为 ，故法线方程为
，
即 。
（13）
已知 ，， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 个解，该方程满足条件 ， 的解为
答案：
解析：
由题意知， 是对应齐次方程的解， 是非齐次方程的一个解，故通解为
。
代入初始条件得 ，所以 。
（14）
设 是三阶非零矩阵， 为 的行列式， 为 的代数余子式，若 ，则
答案：
解析：
由 可知，。
又 ，且 ，故 。
3 三、解答题
15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。
解析：
由
，
且当 时，
，
所以
。
故 。
（16）（本题满分 10 分）
设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴、 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。
解析：
由题意得
，
。
由 ，得 ，故 。
（17）（本题满分 10 分）
设平面内区域 由直线 ， 及 围成，计算 。
解析：
区域 可分为两部分：
。
计算得 。
（18）（本题满分 10 分）
设奇函数 在 上具有二阶导数，且 。证明：
（I）存在 ，使得 ；
（II）存在 ，使得 。
解析：
（I）令 ，则 。由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 。
（II）令 。由（I）知 。又 为奇函数，所以 为偶函数，从而 。
由罗尔定理，存在 ，使得 ，即
，
故 。
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
解析：
设 ，约束条件为 。构造
。
由驻点方程可得
。
结合 ，得 。代入约束条件得 ，解得 。
曲线端点 与 到原点距离均为 ，点 到原点距离为 。故最长距离为 ，最短距离为 。
（20）（本题满分 11 分）
设函数 。
（I）求 的最小值；
（II）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限。
解析：
（I）。
当 时，；当 时，。故最小值为 。
（II）由题设可推出 单调递增且有上界，因此 存在。
设 ，则 。又由（I）知 ，所以 ，从而 。
因此 。
（21）（本题满分 11 分）
设曲线 的方程为 。
（1）求 的弧长；
（2）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围平面图形，求 的形心的横坐标。
解析：
（1）由弧长公式得
。
故
。
（2）形心横坐标为
。
计算得
。
（22）（本题满分 11 分）
设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有矩阵 。
解析：
设 。由 得
。
方程组有解的条件为 。
此时
，
其中 为任意常数。
故
，
其中 为任意常数。
（23）（本题满分 11 分）
设二次型
，
记
。
（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；
（II）若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变换下的标准形为二次型 。
解析：
（I）设 ，则
，
。
因此
。
故对应矩阵为 。
（II）令 。由于 正交且均为单位向量，
。
所以 为 的特征值。又 ，故 也是 的特征值。
因此 的特征值为 ，二次型 在正交变换下的标准形为 。