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1 一、选择题
1—8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
1.
当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
当 时，，是 阶无穷小；，是 阶无穷小。
由题意得 且 ，所以 。
2.
下列曲线有渐近线的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
对 ，有 ，且 ，故有斜渐近线 。
3.
设函数 具有二阶导数，，则在 上（ ）
（A）当 时，
（B）当 时，
（C）当 时，
（D）当 时，
**答案：**（D）
解析：
是连接 与 两点的直线方程。当 时，曲线是凹的，因此曲线位于弦线下方，即 。
4.
曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
解析：
由 ，，得 ，。
当 时，，，故 ，所以曲率半径 。
5.
设函数 ，若 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
解析：
由 ，得 。
又 ，所以 。
6.
设 在平面有界闭区域 上连续，在 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ ）
（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域 的边界上；
（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域 的内部；
（C） 的最大值点在区域 的内部，最小值点在区域 的边界上；
（D） 的最小值点在区域 的内部，最大值点在区域 的边界上。
**答案：**（A）
解析：
若内部存在驻点，则 ，，。由 且 ，有 ，故内部驻点不是极值点。因此最大值点和最小值点只能在边界上。
7.
行列式 等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
解析：
按第一行展开：
。
8.
设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向量 线性无关的（ ）
（A）必要而非充分条件
（B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件
（D）非充分非必要条件
**答案：**（A）
解析：
若 线性无关，则 ，右侧第二个矩阵秩为 ，故两向量线性无关。
反之不成立。例如 ，， 时，两向量仍线性无关，但三向量线性相关。
2 二、填空题
本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分。
9.
________。
答案：
解析：
。
10.
设 为周期为 的可导奇函数，且 ，，则 ________。
答案：
解析：
当 时，。由 得 ，即 。
又 周期为 且为奇函数，所以 。
11.
设 是由方程 确定的函数，则 ________。
答案：
解析：
设 。当 时，。
有 ，，，故 ，。
所以 。
12.
曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为________。
答案：
解析：
由 ，，得 。
又当 时，点为 ，故切线方程为 ，即 。
13.
一根长为 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的质心坐标 ________。
答案：
解析：
。
14.
设二次型 的负惯性指数是 ，则 的取值范围是________。
答案：
解析：
配方得 。
负惯性指数为 ，需 ，故 。
3 三、解答题
15.（本题满分 10 分）
求极限 。
解析：
因 ，故
。
由洛必达法则得
。
16.（本题满分 10 分）
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和极小值。
解析：
原方程化为 。积分得 。
由 得 ，故 。
又 ，令 ，得 。
当 时，由原方程得 ，且 ，故极大值为 ；当 时，由原方程得 ，且 ，故极小值为 。
17.（本题满分 10 分）
设平面区域 。计算 。
解析：
由对称性，
。
转为极坐标得
。
18.（本题满分 10 分）
设函数 具有二阶连续导数， 满足 。若 ，求 的表达式。
解析：
设 ，则 。计算得 。
由题意得 ，即 。
其通解为 。
代入 ，，得 ，。
所以 。
19.（本题满分 10 分）
设函数 在区间 上连续，且 单调增加，，证明：
（1）；
（2）。
解析：
（1）由 ，积分得 。
（2）令 ，则 。
由（1）及 单调增加，得 。
因此 ，故 ，结论成立。
20.（本题满分 11 分）
设函数 ，，定义函数列
设 是曲线 ，直线 所围图形的面积。求极限 。
解析：
由递推可得 。
因此
。
所以 。
21.（本题满分 11 分）
已知函数 满足 ，且 ，求曲线 所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积。
解析：
由 ，得 。
又 ，故 。
所以 。
令 ，得 ，且交点对应 。
所求体积为
。
22.（本题满分 11 分）
设 ， 为三阶单位矩阵。
（1）求方程组 的一个基础解系；
（2）求满足 的所有矩阵。
解析：
（1）对 作初等行变换：
。
故同解方程组为 ，一个基础解系为 。
（2）设 为 矩阵。对增广矩阵 作初等行变换，可得
。
于是满足 的所有矩阵为
，
其中 为任意常数。
23.（本题满分 11 分）
证明 阶矩阵
与
相似。
解析：
设 ，。
对 ，有 ，故其特征值为 。又 为实对称矩阵，故可对角化，且 。
对 ，有 ，其特征值也为 。当 时，，故对应有 个线性无关特征向量；再加上特征值 对应的特征向量， 也可对角化，且 。
因此 与 相似。