【命题趋势与难度分析】本篇收录了 1994 年至 1998 年的早期真题，属于考研数列极限的“萌芽与奠基期”。 这一阶段的题目难度适中，计算属性重于证明属性。命题人主要围绕数列极限的“三大计算法宝”展开考察：一是利用夹逼定理（放缩分母）处理复杂和式；二是利用定积分的定义将离散和式转化为连续积分；三是将离散变量 连续化（令 ），借用泰勒公式或洛必达法则处理 型极限。这一时期的题目套路清晰，是必须稳稳拿下的基础基本功。
1.【1994年，数三，10分】
计算 .
【技巧】：幂指函数 型极限。利用重要极限公式或者转化为 的指数形式，结合等价无穷小代换求解。
【解答】： 原极限为 型，转化为指数形式：
利用 的结论（其中 ），考察其指数部分：
当 时，，分母趋于 ，分子利用等价无穷小 ：
故原极限为 。
【答案】：
2.【1995年，数二，3分】
________.
【技巧】：夹逼定理。项数随 变化且分母互不相同的和式极限，通常通过放大和缩小分母来寻找左右界。
【解答】： 设原通项为 。将各项分母统一缩小为最大的 ，可得下界：
将各项分母统一放大为最小的 ，可得上界：
对两端分别取极限：
由夹逼定理可知，原极限为 。
【答案】：
3.【1996年，数一，5分】
设 ，试证数列 极限存在并求此极限.
【技巧】：单调有界准则。经典递推数列，先求可能的极限值确定界限，再用数学归纳法证明有界性与单调性。
【解答】： 若极限 存在，由 取极限得 ，解得 或 （舍去）。故猜测下界为 。
（1）证明有界性：已知 。假设 ，则 。由数学归纳法知，对一切 ，恒有 。
（2）证明单调性：考察作差 。 因为 ，所以 ，从而 ，即数列单调递减。
综上， 单调递减且有下界，由单调有界准则知其极限存在。令 ，有 ，解得 。
【答案】：极限存在，且极限值为 3。
4.【1998年，数一，6分】
求 .
【技巧】：夹逼定理结合定积分定义。先通过夹逼放缩分母，再将两端转化为黎曼和（定积分）。
【解答】： 设通项为 。由于 ，进行放缩：
利用定积分定义求两端的极限：
左端极限 。 由夹逼定理得原极限为 。
【答案】：
5.【1998年，数四，6分】
求极限 （为自然数）.
【技巧】：变量代换与函数极限。由于 ，可令 ，将离散变量转化为连续变量，然后利用泰勒公式。
【解答】： 令 ，则 。原数列极限转化为函数极限：
此为 型，写为 的指数形式：
利用泰勒公式：，则分子 。 指数极限为：
因此原极限为 。
【答案】：