题目
18. 椭圆 E: x²/a² + y² = 1 (a>1)，过右焦点垂直于 x 轴的直线被 E 所截线段长为 √2。
(1) 求 E 的离心率；
(2) O 为坐标原点，给定点 G(t₀, 0) (t₀ ≠ 0)；A(x₀, y₀) (y₀ ≠ 0) 在 E 上，过点 A 作 y 轴的垂线，交于点 B，AO 与 GB 交于点 P。当 A 在 E 上运动时，P 的轨迹为 M。
- (i) 求 M 的方程；
- (ii) M 是否有中心点？当 t₀ 为何值时，M 有中心点？当 M 有中心点时，平移 M 到 M'，使 O 为 M' 的中心点，说明 M' 为何形状？
考点分析
本题属于解析几何综合题，核心考查：
椭圆的基本性质（通径、离心率、a,b,c 的关系）； 交轨法求轨迹方程的方法； 二次曲线的对称中心判断、平移变换； 椭圆与双曲线的标准方程识别； 重点考查运算求解能力、转化与化归的数学思想。
第（1）题：求椭圆E的离心率
解题思路
已知椭圆 E: x²/a² + y² = 1 (a>1)，可得 b=1；利用椭圆 通径（过焦点且垂直于长轴的弦） 的长度公式求出 a，再结合 a,b,c 的关系求 c，最终得到离心率。
解题过程
椭圆中，过右焦点垂直于 x 轴的弦（通径）长度公式为 2b²/a，由题意该线段长为 √2，因此：
2b²/a = √2
代入 b=1，得 (2×1²)/a = √2，解得 a = √2。
由椭圆中 c = √(a² - b²)，代入 a=√2, b=1，得：
c = √(2 - 1) = 1
椭圆的离心率 e = c/a，因此：
e = 1/√2 = √2/2
技巧
熟记椭圆通径公式 2b²/a，可避免代入焦点坐标、求交点的繁琐计算，快速求解参数。
第（2）题（i）：求轨迹M的方程
解题思路
先确定各点坐标，写出直线 AO 与 GB 的方程，联立求出交点 P 的坐标（用 A 的坐标表示）；再利用 A 在椭圆上的条件，消去参数 x₀,y₀，得到 P 的轨迹方程。
解题过程
由题意，A(x₀, y₀) (y₀ ≠ 0)，过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 B，故 B(0, y₀)；又 G(t₀, 0) (t₀ ≠ 0)。
求直线方程
- 直线 AO
：过原点和 A(x₀,y₀)，斜率为 y₀/x₀，方程为 y = (y₀/x₀)·x； - 直线 GB
：过 G(t₀,0) 和 B(0,y₀)，斜率为 -y₀/t₀，方程为 y = -(y₀/t₀)·x + y₀。
联立方程求交点P的坐标
联立两直线方程：
(y₀/x₀)·x = -(y₀/t₀)·x + y₀
因 y₀ ≠ 0，两边同除以 y₀，得：
x/x₀ + x/t₀ = 1
整理得 x = x₀·t₀/(x₀ + t₀)，代入 y = (y₀/x₀)·x，得 y = y₀·t₀/(x₀ + t₀)。
消去参数 x₀,y₀
由 x = x₀·t₀/(x₀ + t₀) 变形得 1/x₀ = 1/x - 1/t₀，即 x₀ = t₀·x/(t₀ - x)；
同理，y₀ = t₀·y/(t₀ - x)。
因为 A(x₀,y₀) 在椭圆 E: x²/2 + y² = 1 上，故 x₀² + 2y₀² = 2，将 x₀,y₀ 代入得：
[t₀·x/(t₀ - x)]² + 2·[t₀·y/(t₀ - x)]² = 2
两边同乘 (t₀ - x)² 并整理，得 M 的方程：
(t₀² - 2)x² + 2t₀²y² + 4t₀·x = 2t₀² (y ≠ 0)
技巧
交轨法求轨迹的核心是 "参数表示交点，消参得轨迹"；利用 y₀ ≠ 0 约去 y₀，可大幅简化计算。
第（2）题（ii）：判断M的中心点与平移后的形状
解题思路
对 M 的方程配方，分析一次项能否消去，以此判断是否存在中心点；再根据 t₀ 的取值，判断平移后曲线的类型（椭圆或双曲线）。
解题过程
先对 M 的方程 (t₀² - 2)x² + 4t₀·x + 2t₀²y² = 2t₀² 配方：
(t₀² - 2)·[x + 2t₀/(t₀² - 2)]² + 2t₀²y² = 2t₀⁴/(t₀² - 2)
判断中心点是否存在
当 t₀² = 2（即 t₀ = ±√2）时，方程变为 y² = 1 - t₀·x，为抛物线，无对称中心，故 M 无中心点； 当 t₀² ≠ 2（即 t₀ ≠ ±√2 且 t₀ ≠ 0）时，可通过平移消去一次项，M 有中心点。
平移后 M' 的形状
令 x' = x + 2t₀/(t₀² - 2)，y' = y，将 M 平移至中心在原点的 M'，方程为：
x'² / [2t₀⁴/(t₀² - 2)²] + y'² / [t₀²/(t₀² - 2)] = 1
分情况讨论：
当 |t₀| > √2 时，t₀² - 2 > 0，方程为标准椭圆形式，是长轴在 x' 轴上的椭圆； 当 0 < |t₀| < √2 时，t₀² - 2 < 0，方程可改写为标准双曲线形式，是焦点在 x' 轴上的双曲线。
技巧
二次曲线的中心可通过 "配方消去一次项" 判断；根据二次项系数的符号，可快速区分椭圆（同号）与双曲线（异号）。
最终答案
椭圆E的离心率：√2/2；
（i）轨迹M的方程：(t₀² - 2)x² + 2t₀²y² + 4t₀·x = 2t₀² (y ≠ 0)；
（ii）当 t₀ ≠ ±√2 时，M 有中心点；平移后：
|t₀| > √2 时，M' 为长轴在 x' 轴上的椭圆； 0 < |t₀| < √2 时，M' 为焦点在 x' 轴上的双曲线。
圆锥曲线综合大题通用解题技巧总结
结合本题考查方向，针对高考圆锥曲线解答题的高频考法，总结通用解题方法与提速技巧如下：
1. 基础量求解：公式速记 + 定义优先
- 核心公式记准记牢
：椭圆 / 双曲线的通径长 2b²/a、离心率 e=c/a、a,b,c 的恒等关系（椭圆 a²=b²+c²，双曲线 c²=a²+b²），可直接代入快速求解参数，避免重复联立计算。 - 离心率问题优先用定义
：遇到焦点、距离类条件，优先用圆锥曲线的第一 / 第二定义转化，减少坐标运算量。
2. 轨迹方程问题：选对方法，步骤清晰
高考轨迹问题以相关点法（代入法）、交轨法、定义法为核心，对应场景与步骤：
- 相关点法（本题适用）
：已知主动点在已知曲线上，求从动点轨迹。核心步骤：设从动点(x,y)、主动点(x₀,y₀) → 找到两点坐标的等量关系 → 用 x,y 表示 x₀,y₀ → 代入主动点满足的曲线方程 → 化简得轨迹。 - 交轨法
：求两条动直线交点的轨迹。核心步骤：写出两条动直线的方程 → 联立消去参数 → 得到交点横纵坐标的关系式。 - 定义法
：条件符合椭圆 / 双曲线 / 抛物线的定义时，直接根据定义写出标准方程，大幅简化运算。
易错提醒：务必验证轨迹的取值范围，去掉不符合条件的点（如本题 y≠0）。
3. 直线与圆锥曲线联立：设而不求，韦达打底
这是高考大题最核心的考法，通用解题流程：
- 设直线方程
：优先考虑斜率存在的情况设斜截式 y=kx+m，同时单独验证斜率不存在的情况； - 联立方程
：将直线代入曲线方程，整理为关于 x（或 y）的一元二次方程； - 判别式把关
：先写 Δ>0，保证直线与曲线有两个交点； - 韦达定理
：写出 x₁+x₂、x₁x₂ 的表达式； - 目标转化
：将题干要求的弦长、面积、向量、斜率关系等，全部转化为 x₁+x₂、x₁x₂ 的形式，代入韦达定理化简求解。
4. 二次曲线一般式：配方判型，平移规范
对于非标准形式的二次曲线（如本题的轨迹 M），快速处理方法：
- 判中心
：对 x,y 分别配方，能消去一次项则存在对称中心，否则为抛物线； - 判类型
：观察二次项的系数符号：同号为椭圆型（椭圆、圆、点），异号为双曲型（双曲线、两条相交直线），缺一个二次项为抛物线； - 平移变换
：遵循 "左加右减、上加下减"，令 x'=x-h，y'=y-k，将中心移至原点，得到标准方程后即可判断曲线形状与基本量。
5. 运算提速技巧
- 能约先约
：联立或变形时，遇到非零的公共因子（如本题的 y₀）先约去，再继续计算； - 对称替换
：遇到对称式（x₁+x₂、x₁x₂），全程保留整体形式，不单独求解根； - 特殊值验证
：计算完轨迹方程后，代入已知的特殊点（如顶点、焦点）验证正误，快速排查计算错误； - 分步化简
：复杂分式变形分步进行，避免一步到位出现符号、系数错误。
6. 易错点规避
- 分类讨论
：遇到含参数的二次方程，必须讨论二次项系数为 0 的情况（如本题 t₀²=2），避免漏解； - 范围遗漏
：轨迹问题、直线与曲线相交问题，务必标注变量的取值范围，去掉不符合题意的点； - 概念混淆
：区分椭圆与双曲线的 a,b,c 关系，离心率范围（椭圆 0<e<1，双曲线 e>1），避免公式混用。
