1

难度标注说明

评价依据主要包括：知识点综合程度、计算量、思维转换要求、易错点数量、是否需要证明或反例构造、是否具有压轴题特征。

第一部分：2024 年考研数学二真题、解析、知识点与难度

2

2024 年全国硕士研究生入学统一考试（数学二）试题与解析

一、选择题

1

函数

的第一类间断点的个数为（ ）

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： C

解析：
 间断点只可能在  处。又

故  为可去间断点；而

所以第一类间断点只有  个，即 。

知识点： 间断点分类；指数型函数极限；可去间断点、无穷间断点判定

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 考查点集中在基本极限与间断点分类，计算量不大，但要注意定义域端点与  的不同性质。

2

已知

则

等于（ ）

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： B

解析：
 由参数方程，

当  时，，故

于是

知识点： 参数方程求导；导数定义型极限；无穷小替换

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 核心是把极限识别为 ，属于常规导数应用题。

3

已知

则（ ）

• A.  为奇函数， 为奇函数
• B.  为奇函数， 为偶函数
• C.  为偶函数， 为偶函数
• D.  为偶函数， 为奇函数

答案： D

解析：
 设

因  为奇函数，所以  为偶函数。于是

仍为偶函数；而

是偶函数在  上的积分，因此为奇函数。

知识点： 奇偶函数；变上限积分奇偶性；复合函数奇偶性

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 思路明确，关键是判断奇函数积分函数的奇偶性。

4

已知数列 （），若  发散，则（ ）

• A.  发散
• B.  发散
• C.  发散
• D.  发散

答案： D

解析：
 A、C 可取反例 ；B 可取反例 。
 对 D，设

函数

在  上连续且严格单调递增，故存在连续反函数。若  收敛，则

也收敛，与题设矛盾，所以 D 正确。

知识点： 数列收敛与发散；连续单调函数反函数；反例构造

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 需要分别排除多个选项，并用严格单调连续函数的反函数说明正确项，逻辑性较强。

5

已知函数

则在点  处（ ）

• A.  连续， 可微
• B.  连续， 不可微
• C.  不连续， 可微
• D.  不连续， 不可微

答案： C

解析：
 先有

且

故  在  可微。
 当  时，

其在  附近极限不存在，所以偏导不连续。

知识点： 二元函数可微定义；偏导数连续性；夹逼估计；振荡项

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 可微性用定义和夹逼较直接，但偏导不连续需要识别强振荡项，容易误判。

6

设  为连续函数，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： A

解析：
 原区域满足

换序后，

故对应选项为 A。

知识点： 二重积分换序；平面区域描述；反三角函数边界

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 属于常规换序题，画清区域后难度较低。

7

设非负函数  在  上连续，给出三个命题：

1. 若  收敛，则  收敛；
2. 若存在 ，使极限  存在，则  收敛；
3. 若  收敛，则存在 ，使极限  存在。

其中正确命题的个数是（ ）

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： B

解析：

• (1) 错。取 ，则  收敛，但  发散。
• (2) 对。若  存在，则充分大时 ，再由比较判别法知积分收敛。
• (3) 错。取积分收敛，但不存在  使  极限存在。

故正确的只有 1 个。

知识点： 反常积分敛散性；比较判别法；命题真假与反例

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 不仅要会判别收敛，还要构造或理解反例，综合性明显高于一般填空选择。

8

设  为三阶矩阵，

若

则矩阵  为（ ）

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： C

解析：
 由

直接计算得

知识点： 矩阵乘法；可逆矩阵变换；矩阵方程求 

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 按矩阵等式左、右乘逆矩阵即可，计算较机械。

9

设  为  阶矩阵， 为  的伴随矩阵。若

则  的取值为（ ）

• A.  或 
• B.  或 
• C.  或 
• D.  或 

答案： D

解析：
 若  可逆，则 ，由题式可推出 ，矛盾；故  不可逆，从而

于是由题设得

故

又 ，故

知识点： 伴随矩阵；矩阵秩；幂零矩阵；Sylvester 秩不等式

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 需要把伴随矩阵性质、不可逆情形和  的秩限制联系起来，抽象度较高。

10

设  均为  阶矩阵，且 ，则“ 有两个不相等的特征值”是“ 可对角化”的（ ）

• A. 充要条件
• B. 充分不必要条件
• C. 必要不充分条件
• D. 既不充分也不必要条件

答案： B

解析：
 若  有两个不同特征值，则有两组线性无关特征向量。由  可知， 将  的特征子空间映到自身，因此这两组特征向量也可取为  的特征向量，故  可对角化。
 反之不成立，例如取

则  可对角化，但  没有两个不相等特征值。

二、填空题

知识点： 可交换矩阵；特征子空间不变性；可对角化充分条件

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 考查线性代数理论理解，不只是计算；充分与必要的区分是难点。

11

曲线  在点  处的曲率圆方程为 ______

答案：

解析：
 将曲线写成 ，则

故在  处曲率为

曲率半径

又曲线在原点处与  轴相切，曲率中心为 ，故曲率圆方程如上。

知识点： 曲率与曲率圆；参数形式  的曲率；法线方向

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 公式本身不难，但曲线在原点处不能直接写成常规 ，方向判断有一定陷阱。

12

函数

的极值点为 ______

答案：

解析：
 由

得驻点为 、。再由

知在  处，

故  为极值点；而  处判别式小于零，不是极值点。

知识点： 多元函数驻点；二阶充分条件；Hessian 判别

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 标准的二元极值判别题，计算量较小。

13

微分方程

满足初始条件  的解为 ______

答案：

解析：
 令 ，则

代入原方程得

分离变量积分：

代回 ，得

再由  得 。

知识点： 一阶微分方程变量替换；分离变量；初值问题

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 变量替换  是关键，识别后计算常规。

14

已知函数

则

答案：

解析：
 由莱布尼茨公式可得

故

知识点： 高阶导数；莱布尼茨公式；指数函数导数

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 用莱布尼茨公式直接计算，套路清晰。

15

某物体以速度

做直线运动。若它从  到  的平均速度是 ，则  ______

答案：

解析：
 由平均速度定义，

计算得

故

知识点： 定积分平均值；平均速度；三角函数积分

难度： ★☆☆☆☆（1/5）

难度说明： 公式直接，计算简单，是全卷较基础题。

16

设向量

若  线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则  ______

答案：

解析：
 对矩阵  行变换，可化到

由题设知秩为 ，故

解得

于是

三、解答题

知识点： 向量组线性相关；矩阵秩；参数求解

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 需要把线性相关且任意两个无关转化为秩为 ，再处理参数。

17

设平面有界区域  位于第一象限，由曲线

与直线

围成，计算

解析：
 区域关于直线  对称，因此

从而原积分化为

即只需求区域面积。

改用极坐标

由边界条件得

且

故

计算得

因此

知识点： 二重积分；极坐标；区域对称性；曲线边界转换

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 区域边界由双曲线和射线组成，极坐标转换与对称性是核心，区域识别要求较高。

18

设  满足方程

且

1. 利用变换  化简方程，并求 ；
2. 求

解析：

（1）

令 ，则 。有

代入原方程得

故通解为

再由

解得

因此

（2）

于是

令

则

故原积分化为

即

知识点： 欧拉方程；变量替换 ；定积分计算

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 微分方程部分较典型，第二问积分计算增加了步骤量。

19

设 ，曲线

与直线  及  轴所围平面图形绕  轴旋转所得的旋转体体积为 ，求  的最大值。

解析：
 由旋转体体积公式，

对  求导，

故

所以  在  处取得最大值。

代入得

即

知识点： 旋转体体积；变限积分求导；一元函数最值

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 模型常规，但需正确对  使用变限积分求导并判断最大值。

20

设  具有二阶连续偏导，

且满足

1. 求 ；
2. 若 ，且 ，求 。

解析：

（1）

由链式法则，

于是

继续求导得

代入题设可得

故

（2）

由

知

又因

故

于是

对  积分，

再由

得

因此

知识点： 复合函数二阶链式法则；偏微分方程；积分还原函数

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 二阶偏导展开量较大，后续还要由边界条件还原函数，综合计算要求高。

21

设函数  具有二阶导数，且

证明：

1. 当  时，

解析：

（1）

令

则

且

若存在  使 ，则由拉格朗日中值定理可在 、 内分别取点 ，使

再对  应用中值定理，可得某点  满足

与  矛盾。故

同理，对

可得

于是

即

（2）

将上式在  上积分，得

而

且

因此

知识点： 拉格朗日中值定理；凸性/凹性；二阶导数有界的不等式证明；积分估计

难度： ★★★★★（5/5）

难度说明： 证明题对构造辅助函数和不等式双侧估计要求高，是 2024 卷中理论难度最高的题之一。

22

设矩阵

二次型

已知方程组  的解是  的解，但两个方程组不同解。

1. 求  的值；
2. 求正交变换 ，将  化为标准形。

解析：

（1）

由题意，

同解，故

而

故

因此

（2）

代入 ，得

于是

故该矩阵只有一个非零特征值：

取对应的单位正交特征向量为

令

则

因此在正交变换  下，

知识点： 矩阵秩与方程组解空间；二次型；正交对角化；特征向量构造

难度： ★★★★★（5/5）

难度说明： 线性代数压轴题综合了解空间、参数、二次型标准形和正交变换，步骤长且容错率低。

第二部分：2026 年考研数学二真题、解析、知识点与难度

3

2026 年全国硕士研究生入学统一考试（数学二）试题与解析

一、选择题

1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1

已知当  时， 与  是等价无穷小，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： A

解析：
 当  时，

故

与  等价，必有

故选 A.

知识点： 等价无穷小；Taylor 展开；反三角函数与幂函数展开

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 只需展开到二阶并匹配一次项、二次项，基础但要注意一次项必须消失。

2

设  是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解.若常数  使得  是该方程的解， 是该方程对应齐次方程的解，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： B

解析：
 非齐次解线性组合仍为原方程解时，特解系数和应为 ；齐次解对应系数和应为 .故

解得

故选 B.

知识点： 非齐次线性微分方程解结构；特解线性组合；齐次解判定

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 抓住非齐次特解系数和为 、齐次组合系数和为  即可。

3

设函数  由方程 （ 为非零常数）确定，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： A

解析：
 设

则

由隐函数求导公式，

两式相减得

故选 A.

知识点： 隐函数求导；二元偏导；代数消元

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 隐函数公式直接套用，最终相减出现常数，计算难度较低。

4

设线密度为  的细直棒两端点分别位于  和 ，质量为  的质点位于 ， 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： D

解析：
 取棒上点  的微元 ，其到质点的距离为 .微元引力大小为

由对称性，水平方向分力抵消，只需取竖直分量：

故总引力为

故选 D.

知识点： 微元法；对称性；定积分建模；引力分解

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 不是单纯积分计算，还要建立物理微元模型并取竖直分量。

5

设函数  在区间  上有定义，则

• A. 当  在  单调递减、在  单调递增时， 是极小值
• B. 当  是极小值时， 在  单调递减、在  单调递增
• C. 当  的图形在  上是凹的时， 在  上单调递增
• D. 当  在  上单调递增时， 的图形在  上是凹的

答案： C

解析：

• A 错： 取 则单调性满足，但  不是极小值.
• B 错： 取 则  是极小值，但两侧单调性不满足.
• C 对： 若图形在  上是凹的，则割线斜率随点右移而增大，因此在  上单调递增.
• D 错： 取 ，上式单调递增，但  在  不恒号，不是凹函数.

故选 C.

知识点： 极值、单调性与凹凸性；反例构造；割线斜率性质

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 多选项辨析需要反例意识和对凹函数割线斜率性质的理解，概念性较强。

6

已知函数

 的反函数为 ，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： B

解析：
 因 ，故

由变上限积分求导，

于是

反函数求导公式给出

故选 B.

知识点： 变上限积分求导；反函数求导；复合函数导数

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 属于典型反函数导数题，计算量较小。

7

设函数  在区域

上连续，且 ，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： D

解析：
 由对称性，

选项 D 的求和区域正对应三角形区域 ，且网格边长为 ，因此

恰好对应上述二重积分.故选 D.

知识点： 二重积分的 Riemann 和；对称区域；网格尺度换算

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 难点在于识别求和区域、网格面积和对称倍数之间的关系，容易因系数出错。

8

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵.设  为  阶置换矩阵， 为  的伴随矩阵，则

• A.  为置换矩阵
• B.  为置换矩阵
• C. 
• D. 

答案： B

解析：
 置换矩阵的逆矩阵等于其转置，仍是置换矩阵，所以 B 正确.
 又

因此  不一定还是置换矩阵，且 C、D 也都不是恒成立.故选 B.

知识点： 置换矩阵；逆矩阵与转置；伴随矩阵性质

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 核心事实是置换矩阵的逆仍为置换矩阵，伴随矩阵只需作为干扰项处理。

9

设矩阵

若存在矩阵  满足 ，则

• A. 
• B. 
• C. 
• D. 

答案： A

解析：
 意味着  的每一列都应属于  的列空间.

对第一列 ，设

由方程组得

再代入第四行得

同理，对第二列 ，解得

故

故选 A.

知识点： 矩阵方程 ；列空间；线性方程组相容性

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 需要把存在  转化为  的列属于  的列空间，线性代数建模意识较重要。

10

设三阶矩阵  满足

且 ，则下列结论错误的是

• A. 
• B.  只有零特征值
• C.  不能都是对角矩阵
• D.  只有一个线性无关的特征向量

答案： D

解析：
 原式化为

即

从而

因此：

• A 对： 平方为零，立方当然也为零.
• B 对： 若  是  的特征值，则 ，故 .
• C 对： 若二者都为对角矩阵，则差仍为对角矩阵；对角矩阵平方为零只能是零矩阵，这与  矛盾.
• D 错： 例如 但其对应零特征值可有两个线性无关特征向量.

故选 D.

二、填空题

11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分.

知识点： 矩阵代数恒等变形；幂零矩阵；特征值与特征向量

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 由等式推出  后，还要判断多个命题，理论辨析强。

11

设  为常数，若反常积分

收敛，则  的取值范围是 ________.

答案：

解析：
 分两端讨论：

• 当  时，，故被积函数收敛条件为 .
• 当  时，，故被积函数收敛条件为 .

综上，

知识点： 反常积分；端点敛散性；等价无穷小与比较判别

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 两端分别比较是关键，条件合并较直接但容易漏掉一端。

12

答案：

解析：
 化为

利用展开式

得分子为

分母为 ，故极限为

知识点： 极限；Taylor 展开；对数和正弦展开

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 展开到二阶即可，属于基础极限题。

13

曲线

在点  处的曲率半径为 ________.

答案：

解析：
 对方程求导：

代入  得

再求一次导并代入 ，得

曲率

故曲率半径

知识点： 隐函数求导；曲率与曲率半径；二阶导数

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 隐式求二阶导再代入曲率公式，步骤稍多。

14

已知函数  可微，且

记

则

答案：

解析：
 由全微分知

由链式法则，

代入  时，，故

知识点： 全微分；多元复合函数链式法则；偏导数代入

难度： ★★☆☆☆（2/5）

难度说明： 由全微分读出偏导后代入链式法则，计算简单。

15

函数

在区间  上的平均值为 ________.

答案：

解析：
 平均值为

令 ，则

知识点： 函数平均值；定积分换元；对数积分

难度： ★☆☆☆☆（1/5）

难度说明： 直接套平均值公式并换元计算，是基础送分题。

16

设矩阵

若二次型

的规范形为 ，则  ________.

答案：

解析：
 规范形只有一项，说明

故

即两行成比例.于是

由

得

故

三、解答题

17~22 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

知识点： 二次型规范形；矩阵秩； 的秩性质

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 关键是由规范形只有一项推出秩为 ，再转化为两行成比例。

17

（本题满分 10 分）

计算

解：
 改用极坐标

区域对应为

故

其中

且

因此

知识点： 二重积分；极坐标；区域识别；分部积分

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 极坐标区域较清楚，主要难点在径向积分的计算。

18

（本题满分 12 分）

已知函数  连续.设

求  的表达式，并判断  在  处的连续性.

解：
 当  时，令 ，则

故

再看 .因 ，

由积分中值定理，

其中  介于  与  之间.于是

因此

再由同样的中值定理，

故

所以  在  处连续.

知识点： 含参变上限积分；换元；导数在特殊点的连续性；积分中值定理

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 除求导外，还要单独处理  并证明连续性，对严谨性要求较高。

19

（本题满分 10 分）

求函数

的极值.

解：
 先求偏导：

令

得驻点

再求二阶偏导：

• 在  处，不是极值点.
• 在  处，故为极大值点.

极大值为

结论： 只有一个极大值

在点  处取得；无极小值.

知识点： 多元函数极值；驻点；Hessian 判别

难度： ★★★☆☆（3/5）

难度说明： 标准极值题，但偏导和二阶判别需要完整计算。

20

（本题满分 12 分）

已知  是曲线

的拐点， 为原点.记  是第一象限中以曲线

线段  及  正半轴为边界的无界区域，求  绕  轴旋转所成旋转体的体积.

解：
 先求拐点.由

令 ，得

于是直线  的方程为

旋转体体积为

第一部分：

第二部分用公式

故

综上，

知识点： 拐点；旋转体体积；无界区域积分；反常积分计算

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 区域由线段与无界曲线拼接，体积积分分段且含反常积分，步骤较长。

21

（本题满分 12 分）

求微分方程

满足条件

的解.

解：
 方程不显含 ，令

则

化为

再令

则

代入得一阶线性方程

解得

由

得

所以

即

积分得

再由

得

故所求解为

知识点： 不显含  的二阶微分方程降阶；Riccati 型转线性；初值问题

难度： ★★★★☆（4/5）

难度说明： 降阶后还要用倒数替换化为线性方程，方法性强。

22

（本题满分 12 分）

已知向量组

记

1. 证明： 是  的极大线性无关组；
2. 求矩阵  使得 ，并求 .

（1）证明：
 将  行化简：

故

而  显然线性无关，所以它们构成一个极大线性无关组.

另外由化简结果可直接读出

（2）解：
 由上式，

故

设

则

于是

又因为

故

从而

知识点： 向量组极大线性无关组；矩阵分解；低秩矩阵幂；Jordan 型幂结构

难度： ★★★★★（5/5）

难度说明： 压轴线代题把极大无关组、分解  与高次幂计算结合，综合性最强。

4

三、整体难度对比与结论

1. 星级统计结果

| 年份 | 逐题平均难度 | 按分值加权平均难度 | ★ | ★★ | ★★★ | ★★★★ | ★★★★★ | ||:|:|:|:|:|:|:| | 2024 数学二 | 3.00/5 | 3.29/5 | 1 | 7 | 7 | 5 | 2 | | 2026 数学二 | 2.95/5 | 3.23/5 | 1 | 7 | 7 | 6 | 1 |

加权平均难度按常见数二分值结构估算：选择题与填空题每题  分，解答题总分  分，并按第  至  题约  分计入。该统计不是官方难度系数，而是基于本文逐题知识点、步骤量、综合性和易错程度给出的分析量化结果。

2. 分题型对比

选择题部分： 2024 年选择题理论辨析更强，典型题如第 7 题反常积分命题判断、第 9 题伴随矩阵与秩、第 10 题可交换矩阵与可对角化，均要求考生具备较强的概念理解和反例意识。2026 年选择题也有难题，例如第 5 题函数性质辨析、第 7 题二重积分 Riemann 和、第 10 题幂零矩阵命题判断，但整体上计算入口更直接，基础题比例略高。

填空题部分： 两年填空题都以常规计算为主。2024 年第 11 题曲率圆和第 16 题向量组参数有一定陷阱；2026 年第 11 题反常积分、第 13 题隐式曲率、第 16 题秩与二次型规范形也具有区分度。总体看，两年填空难度接近，2026 年更偏常规基础链条，2024 年个别题更考察形式转换。

解答题部分： 2024 年解答题难度更集中在后半卷：第 20 题二阶链式法则展开量大，第 21 题证明题对辅助函数构造和中值定理运用要求高，第 22 题线性代数综合度高。2026 年解答题同样有综合题，第 18 题考查导数在  处连续性，第 20 题涉及无界区域旋转体体积，第 21 题是降阶微分方程，第 22 题为矩阵分解与高次幂，但整体更偏“方法识别 + 规范计算”，证明型抽象压力弱于 2024 年。

3. 最终结论

综合逐题星级、知识点覆盖和解题负担来看，2024 年考研数学二整体难度略高于 2026 年。主要依据有三点：第一，2024 年五星题有第 21 题和第 22 题两道，其中第 21 题为证明型不等式，抽象性和构造性较强；第二，2024 年线性代数选择题和压轴题对理论理解要求更高，不能只靠代入计算；第三，按本文加权估算，2024 年约为 3.29/5，2026 年约为 3.23/5，二者差距不大但 2024 年略占上风。

不过，2026 年并不简单。2026 年的难点主要体现在多处中档偏难题的连续分布，例如第 5、7、10、18、20、21、22 题，容易在概念辨析、区域识别、特殊点连续性和矩阵高次幂处失分。因此更准确的判断是：2024 年属于“理论证明和线代综合更难”的试卷，2026 年属于“基础题较稳、中档题密集、压轴题综合”的试卷。若以应试体感衡量，2024 年对高分考生更有压迫感，2026 年对中等考生的稳定计算和规范表达要求更高。