前言

今天来看吉林大学26考研数学分析考的一道广义积分敛散性的证明题，难度确实有一点点大，讨论起来相对比较复杂，但只要基础扎实，还是可以做出来的哈！

这种类型的题目很多学校都在考，考频还是很高的。

吉林大学2026年数学分析考研真题

题目

讨论参数  对广义积分  的敛散性。

分析

这种敛散性的证明，一般情况比较多，大家可以先从最简单的情况进行入手，从易到难。

解析

设

当  时， 的被积函数在  时不趋于零，故  发散。

当  时，作变换 ，则

此时 ，与  同样发散，因此积分仅可能在  时收敛。

当  时，积分条件收敛，下面给出证明。

先证  收敛。注意到

令 ，则 ，且  时 ， 时 ，于是

其绝对值恒小于 ，设 ，则  在  上连续且 ，但  并非整体单调。

然而存在  使得  在  上单调递减，因为  最终为负。

将  拆分为

有限区间上的积分正常，只需证第二项收敛。记 ，则  在  上单调递减趋于 ，且

令 ，由前知  有界。由  判别法， 收敛，故  收敛。

再证  收敛。作变换 ，得

此时 ，同理可证该积分收敛。因此当  时， 收敛。

下证非绝对收敛。当  时，考虑  的绝对收敛性。

当  时， 发散。又  收敛（与  同理），故  非绝对收敛，从而  非绝对收敛。

当  时，考虑  的绝对收敛性。由  变换得

此时 ，归于上一情形，故  非绝对收敛，因此  非绝对收敛。

综上可得，当  时，广义积分  条件收敛；当  或  时， 发散。

注：题目虽然看起来可能比较复杂，但其实用的方法也是之前大家学过的方法，就是在分情况讨论的时候，一定要确保不要漏掉某种情况。

 判别法

设  在  上连续，.

 判别法：若  收敛，且  在  上单调有界，则  收敛。

 判别法：若  在  上有界，且  在  上单调趋于 ，则  收敛。